2026.7.29 图论

A

解析

首先可以肯定的是一定有一种答案的d是小于m的

那么一种合法的匹配方式就是一个A的长为d的后缀和一个B的长为d的前缀匹配，一个A的后缀与B的前缀匹配，如图（实线为n个串，虚线为前后缀）

，那么对于一个固定的d，我们可以用哈希把一样的串压成一个点，然后连A的前缀->后缀，B的后缀->前缀，如果合法，那么就会有一条欧拉回路（如图，连线表示相同重合为一个点），直接找即可，复杂度 \(O(nm)\)

B

C

解析

差分约束

令 \(S_i\) 为左右括号差的前缀和，那么有 \(\forall S_i\ge 0\ , -1\le S_i-S_{i-1}\le 1 , S_0=S_n=0\)，加上限制 \(S_r-S_{l-1}=c\)，跑SPFA即可

启发

1. \(a=b \Leftrightarrow a\le b \ \land a\ge b\)，可以将相等转化为差分约束，反着来看也可以用来证明相等
2. 递归的SPFA，好像会快一些不会被卡

bool spfa(int u){
	vis[u]=1;
	for(auto t:e[u]){
		int v=t.first,w=t.second;
		if(dis[v]>dis[u]+w){
			dis[v]=dis[u]+w,cnt[v]=cnt[u]+1;
			if(cnt[v]>n+1) return 0;
			if(vis[v]||!spfa(v)) return 0;
		}
	}
	vis[u]=0;
	return 1;
}

D

解析

首先先考虑只有一条路的时候，将k均摊一定是最优的（证明显然：同一条边的收益会不断变小）

再考虑有两条路的时候，发现唯一的不同是有重边

显然重边只有一段，那么我们就可以用01BFS求一个全源最短路，然后暴力的枚举连续段的端点，算出不同长度重边对应的最小非重边，然后三分即可

启发

01BFS可以 \(O(n^2)\) 处理全源最短路（边权均为1时）

E

解析

显然二进制拆分

考虑二进制意义下一个数比比另一个数大，当且仅当两数公共前缀（可以为空）的下一位一个是1一个是0

因为是按位与，所以每次选取公共前缀和后一位作为答案即可（这样一定是要求位数最少的），边权中包含答案的才留下来，并查集维护连通性即可（注意位运算要写成1ll<<i）