专题练习——状压DP

P3694 邦邦的大合唱站队

解析

设 \(f_s\) 为将 \(s\) 中的乐队排列好的变化人数，那么对于一个固定的 \(s\)，它占的位置应该是固定的，我们记为 \(len=\sum_{t\in s} cnt_t\)，然后我们设 \(a_{i,j}\) 为 \(j\) 的前缀和，那么有 \(f_s=max_{t\in s} f_{s-t}+cnt_t-a_{len,t}+a_{len-cnt_t,t}\)，也就是枚举最后一个放的乐队

启发/反思

一直在想按位置来转移，但是实际上位置是不必要的，因为

1. 我们只需要起始和结尾的位置，一位位枚举会有浪费
2. 对于一个固定的状态 \(s\)，它的起始结尾位置的固定的，因此只需要转移状态，不需要转移结束的位置

P2157 [SDOI2009] 学校食堂

思路

显然状压是维护第 \(i\) 位后7个的选取状态，但问题在于第 \(i\) 位前的状态不确定

于是我们可以令前面已将全部吃上，发现这样转移肯定是不漏的

那么方程的设计的显然了，令 \(f_{i,s,j}\) 为第 \(i\) 位，前面已经处理，后7位的状态为 \(s\)，上一次的位置为 \(j\)，由因为显然上一次与这一次的位置不可能大于7，因此我们维护 \(i-j\)，这一维的空间就压了下来

考虑转移

\(\begin{cases} f_{i+1,s>>1,j-1}=f_{i,s,j} \\ f_{i,s+t,t}=f_{i,s,j}+val(i+j,i+t) \end{cases}\)，其中 \(t\) 要保证满足 \(i\sim i+t\) 的要求

启发/反思

1. 状态设计：满足转移不漏
2. 压缩空间：作差

P2396 yyy loves Maths VII

解析

正常方法，但是卡常，需要用lowbit来转移

启发/反思

lowbit转移多一个 \(1\over 2\) 的常数因子，卡常时可用

P4363 [九省联考 2018] 一双木棋 chess

解析

显然中间时的选取情况是这样的

那么我们就可以用轮廓线dp，具体地说：我们将向左记为1，向右记为0，那么我们就可以用二进制数来表示这条分割线，进而描绘整个状态

转移是简单的，记忆化搜索即可

启发

轮廓线dp：不能有凹槽