专题练习——树形DP

​P1272 [USACO02FEB] 重建道路

思路

简单题，设 \(f_{u,j}\) 代表 \(u\) 子树，联通块大小为 \(j\) 的最小删边数，那么有 \(f_{u,i+j}=min_{v \in son(u)}(f_{u,i}+f_{v,j}-1)\)（将两块合一起可以少减 \(u- v\) 这条边），注意非根节点答案要加一（删去连向父亲的边）

P3354 [IOI 2005] Riv 河流

思路

当前点的答案会受祖先影响，显然状态要维护这一影响：设 \(f_{u,j,p}\) 表示 \(u\) 子树，子树内建了 \(j\) 个伐木场，最近的伐木场为 \(p\)，转移是好想的，难度在于状态设计

反思/启发

一开始想到是维护伐木场数和未到伐木场的木头数，但复杂度显然不过关

P6419 [COCI 2014/2015 #1] Kamp

思路

于10.7 NOIP 模拟的T1类似，答案都是一条直径加二倍周围的联通块，并且对于这道题，直径的一个端点必然在起点

直接维护不好换根，考虑转化：答案等于二倍联通块上的所有边-根节点最长链长度，两者都可以容易维护

反思/启发

对于转化不够敏感：当前状态设计不适合转移/换根时，要考虑转化

P3647 [APIO2014] 连珠线

也是一道好题

思路

性质推导

所有蓝链一定由以下两种基本结构构成

两种结构混在一起是不好做的，考虑寻找性质转化

性质：一个合法方案中，所有蓝链的中心点一定位于同一条根到叶子的链上

证明：如果不在同一条链上，就无祖孙关系（如图）

显然这样并不可行，无法同时将 \(1\) 与 \(2,3\) 连边

那么就有推论：一定存在一个点，以它为根时，合法方案全部由第一种结构构成

证明：

设所有“两个儿子都是蓝边”的中心点为 \([ x_1,x_2, \ldots , x_k ]\)

题解前面已经说明，这些中心点必须两两具有祖孙关系。因此，它们一定排列在同一条从根向下的链上：\(x_1\to x_2\to\cdots\to x_k\)，其中 \(x_k\) 最深。

我们选择 \(x_k\) 的任意一个蓝边儿子 \(q\)，将整棵树的根改成 \(q\)。

那么：

对于 \(x_k\)： 因为新根就在它的某一个儿子方向，所以原来的这个儿子变成它的父亲。

对于 \(x_{k-1}\)： 因为 \(x_k\) 一定是它蓝色儿子上的孩子，所以新根 \(q\) 同样在它的蓝色儿子方向，因此它也有一个儿子变成了父亲。

同理，对于所有 \(x_i\)，新根 \(q\) 都在它们下方的某个子树中，所以它们都会失去“两个儿子都是蓝边”的形态。

至于原先已经是第一种结构的蓝链，因此根节点要么在父亲上，要么在蓝色儿子方向上，因此结果也不会改变

所以我们算出所有点为根时，只算第一种结构的最大值，整体的最大值就是答案

方程转移

因为一个点左右都不连蓝链显然不优，所以设 \(dp_{u,0/1}\)，表示 \(u\) 节点是不是中心点（注意一个点可以既是中心点又是端点），转移方程如下：

\(\begin{cases} dp_{u,0}=\sum_{v \in son(u)} max(dp_{v,0},dp_{v,1}+dis(u,v)) \\ dp_{u,1}=dp_{u,0}+max_{v \in son(u)} dp_{v,0}+w-max(dp_{v,0},dp_{v,1}+dis(u,v)) \end{cases}\)（中心点时选择一个儿子作为端点，其余不变，因此算变化量的最大值）

启发/反思

什么时候需要换根：dp的结果因根的不同而变化（也可以说是答案由不同点为根的答案的总和构成，总和可以是sum，mul，min，max等）

P1453 城市环路

思路

基环树板题，相当于最大权独立集问题多加了一个限制，假设去掉的边为 \(s-t\) 那么分别以 \(s,t\) 为根dfs一次，答案就是 \(max(f_{s,0},f_{t,0})\)

反思/启发

没有想到求两次dfs，直接暴力维护的两点关系，尽管可做，但不优秀

P5904 [POI 2014] HOT-Hotels 加强版

思路

三个点距离相同一定可以表示为这样的形式：

这个 \(z\) 可以是祖先，也可以是其他子树上的点，因此我们需要维护两个深度相同点方案数，有应为要保证 \(z\) 的距离相同，所以维护 \(rt \to lca\) 和 \(x,y \to lca\) 的差值

设 \(f_{u,i}\) 表示 \(dis(u,k)=i\) 的点数，\(g_{u,i}\) 表示 \(dis(u,lca)+i=dis(x,lca)=dis(y,lca)\) 的点对数，那么有转移：

\(ans \larr \sum_{x,y \in son(u),x \neq y} f_{x,i-1}g_{y,i+1} \\ ans \larr f_{u,0} \\ f_{u,i} \rarr \sum_{x \in son(u)} f_{x,i-1} \\ g_{u,i} \larr \sum_{x,y \in son(u),x \neq y} f_{x,i-1}f_{y,i-1} \\ g_{u,i} \larr \sum_{x \in son(u)} g_{x,i-1}\)，直接长链剖分即可

反思/启发

1. 对于原题要求的转化
2. 对于从转化形式自然想到状态设计

P4292 [WC2010] 重建计划

思路

这个题显然是01分数规划，把 \(e_i \to e_i - v\)，那么问题变为求树上是否有一条长度为 \([L,U]\)，总和大于 \(0\) 的路径，显然可以长链剖分，遍历儿子时线段树区间查询即可，这里有一个技巧，就是可以将其他儿子的数值合并到长链上，这样不会导致不同树信息互相影响

反思/启发

1. 启发式合并在线段树上的体现

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