算法第五章作业

算法第五章作业

1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 说明“最小重量机器设计问题”的解空间
“最小重量机器设计问题”是一个组合优化问题。每种部件可以从 m 个不同的供应商处购买，共有 n 个部件。
对于每个部件 i（i = 1, 2, ..., n），有 m 种选择（即从 m 个供应商中选一个）。
因此，整个问题的解空间是所有可能的部件-供应商组合构成的集合。
每个解可以表示为一个长度为 n 的向量 x = (x₁, x₂, ..., xₙ)，其中 xᵢ ∈ {1, 2, ..., m} 表示第 i 个部件选择的供应商编号。
所以，解空间大小为 mⁿ，是一个笛卡尔积空间。

1.2 说明“最小重量机器设计问题”的解空间树
该问题的解空间树是一棵 m 叉树，深度为 n。

• 树的根节点代表尚未选择任何部件；
• 第 1 层的 m 个子节点分别代表第一个部件从 m 个不同供应商中选择；
• 第 2 层的每个节点又扩展出 m 个子节点，代表第二个部件的选择；
• 以此类推，直到第 n 层，形成叶子节点，每个叶子节点对应一个完整的机器设计方案（即一个解）。
  这棵树被称为 m 叉决策树，共 n 层，总共有 mⁿ 个叶子节点，每个路径从根到叶对应一个可行解。

1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么？
在回溯法遍历解空间树时，每个结点的状态值包括：

• 当前已选择的部件编号（或当前处理到第几个部件）；
• 当前已选部件的总价格（累计成本）；
• 当前已选部件的总重量（累计重量）；
• 当前已选部件的供应商选择序列（部分解）；
  此外，在剪枝过程中还会计算：
  • 下界估计：在当前部分解基础上，剩余部件的最小可能重量（用于剪枝）；
  • 是否满足约束条件：当前总价格是否超过预算 d。
    状态值用于判断是否继续向下搜索（即是否进入子树），若当前总价格已超过 d，则剪枝；否则继续探索。

2. 你对回溯算法的理解

回溯算法是一种系统地搜索问题所有解的算法，通常用于求解组合优化、排列组合类问题，如子集、排列、图着色、n皇后等。
其核心思想是：

• 按照某种顺序（如深度优先）生成解空间树；
• 从根节点出发，逐步构建候选解；
• 每一步尝试一个可能的选择，若该选择导致无法构造合法解（违反约束或不可能更优），则“回溯”到上一层，尝试其他选择；
• 若到达叶子节点且满足目标条件（如最优解），则记录该解。

回溯算法的关键特征：

• 使用递归实现，便于表达“前进—回退”过程；
• 包含剪枝策略（可行性剪枝和限界剪枝），避免无效搜索；
• 适用于解空间较大但存在明显约束条件的问题；
• 时间复杂度通常为指数级，但在实际应用中可通过剪枝大幅提高效率。

回溯算法与贪心算法的区别：

• 贪心算法每一步都做局部最优选择，不回头；
• 回溯算法穷举所有可能路径，通过剪枝减少搜索空间，保证找到全局最优解。

总结：
回溯法是一种“试错型”搜索方法，通过构造解空间树并逐层深入，在不可行时及时回退，最终找到所有可行解或最优解。它特别适合于具有明确约束条件和解结构的问题。