算法第四章作业

选点问题的贪心算法分析

1. 贪心策略
   将所有区间按右端点从小到大排序；
   选取第一个区间的右端点作为第一个选点；
   依次遍历后续区间：
   若当前区间包含已选点，则跳过；
   若当前区间不包含已选点，则选取当前区间的右端点作为新的选点。

2. 贪心选择性质证明
   贪心选择性质是指“每次选择当前区间的右端点”这一局部最优选择，能够导出全局最优解：
   假设存在最优解 S，其第一个选点 x 不是第一个区间的右端点 b₁。
   由于区间按右端点排序，必有 b₁ ≤ x（否则 x 无法覆盖第一个区间）。
   将 x 替换为 b₁，新的选点集仍能覆盖所有区间（b₁ 属于第一个区间，且后续区间的左端点 ≤ b₁ ≤ 原选点 x）。
   因此，“选择第一个区间的右端点”是满足贪心选择性质的操作，且剩余子问题的最优解与该选择结合后仍为全局最优解。

3. 时间复杂度分析
   排序阶段：对 n 个区间进行排序，时间复杂度为 O(n log n)；
   选点阶段：遍历所有区间完成选点，时间复杂度为 O(n)；
   总时间复杂度：O(n log n)（排序为主要时间开销）。

4. 对贪心算法的理解
   贪心算法是一种每一步都做出局部最优选择，期望最终得到全局最优解的算法策略。
   其适用的核心条件是问题需同时满足：

   • 贪心选择性质：局部最优的选择可以导出全局最优解；
   • 最优子结构性质：原问题的最优解包含其子问题的最优解。
     贪心算法的优势是效率较高（通常为线性或线性对数时间复杂度），
     但局限性在于仅适用于满足上述条件的特定问题，并非所有问题都能通过局部最优得到全局最优。