CF1381 题解

计算几何看了一下午自闭了

A

我们先考虑如何将一个串变成全部相等：我们从前往后确定，假设我们让前 \(i\) 位都满足条件了，假设 \(a_i \neq a_{i+1}\)，我们就操作 \(i\) 前缀，这样就相等了。

那么如果都变成 \(0\) 的话就看看最后是全 \(0\) 还是全 \(1\) 就好了。这样操作次数是 \(\leq n\) 的。

我们对 \(s\) 这样做，对 \(t\) 这样做，然后把 \(t\) 的操作倒过来对 \(s\) 做即可。操作次数 \(\leq 2n\)。

B

我们找到序列的最大值，发现最大值后面的数一定和最大值是一组的。

所以我们经过这样的拆分，相当于变成了有若干个数字 \(x_i\)，问你能否选出一个集合 \(S\) 满足 \(\sum_{i \in S} v_i = n\)。背包即可。

C

首先有 \(n\) 个数但是有 \(n+1\) 个颜色，肯定有一种颜色是没有出现过的，可以把它叫做工具人。

首先我们必须选出 \(x\) 个位置满足这 \(x\) 个位置填的数和 \(b\) 对应位置相等，然后选出 \(y-x\) 个位置填上一些数，满足如果这 \(y-x\) 个位置和剩下的颜色连边，能形成完美匹配并且这 \(y-x\) 对应位置的数不相等。剩下的位置填工具人就好了。

先考虑如何判断 \(y-x\) 个位置是否都是合法的：每次同时在 \(a\) 序列和 \(b\) 序列中同时删除一对一样的数，一直到删光或者删不动位置。相当于要做一个匹配。如果最大值 \(< \frac{n}{2}\) 就能都匹配上，否则只能匹配 \(n-\frac{n}{2}\) 对，所以我们第一步操作要尽量要求最大值尽量平均。

于是可以得到我们第一步的贪心操作：每次选择当前出现次数最大的数，将其出现次数 \(-1\)。

然后操作二我们可以把相同数字排到一起，shuffle \(\frac{n}{2}\) 位然后对应填上就能得到最大的配对数量了，最后根据题目要求再填一些工具人就好了。

D

设蛇的长度为 \(L\)，我们称一个点为特殊点当且仅当有三条以这个点为端点的不相交的长度 \(\geq L\) 的链。

首先我们可以发现如果一个蛇的头（或尾）在这个特殊点上那么这个蛇一定可以翻转过来，并且如果一个蛇的头（或尾）已经在特殊点上了，一定可以移动到其他特殊点上。都是可以构造证明的。

于是我们首先通过dp（up and down）找出一个关键点，然后以这个关键点为根，假设现在的蛇是 \((u,v)\) 我们每次贪心地把 \(u\) 移动到子树内最深的叶子，\(v\) 移动到子树内的叶子...... 发现执行 \(O(n)\) 次一定能变成 \(u,v\) 有祖先关系或者是无解。倍增加速跳祖先这一过程即可（长链剖分也可以）。