CF 1288 题解

A

\(x\) 取在 \(\sqrt d\) 附近，枚举一下就行了。

B

对于任意一个二元组 \((x,y)\)，设 \(y\) 的位数为 \(t\)，那么合法的 \(x\) 当且仅当满足 \(xy+x+y = x\times 10^t + y\)。

化简一下可以得到 \(y = 10^t - 1\)。而发现这个式子对 \(x\) 是没限制的，也就是说如果 \(y\) 合法那么 \(x\) 可以任意选。

所以 \(y\) 其实只能取形如 \(9,99,999,\ldots\) 这样的数，设 $ \leq B$ 这样的数有 \(c\) 个，答案就是 \(A \times c\)

时间复杂度 \(O(T \log B)\)

C

只需要保证 \(a_n \leq b_n\) 就好了，于是枚举 \(a_n,b_n\) 剩下的就是个组合数。

D

最小值最大，考虑二分答案，将 \(\geq k\) 的位置设置为 \(1\)，否则设置为 \(0\)。

现在问你是否有两行满足它们按位或是全集。

\(m \leq 8\) 可以开个桶+高维前缀和直接做（其实直接 \(3^n\) 子集和也没事）

E

最靠上的位置：如果发过消息，那么一定是 \(1\)，否则只会一直往下顺延，最靠上的位置就是最初的位置。

最靠下的位置：考虑按照这个数的出现次数分段，答案是每一段去重后的数的个数。在第一次发消息之前的答案是区间内出现了几个比它大的数。区间颜色数，经典主席树操作。

官方解法是在前面添加 \(m\) 个虚点用来存放移动过去的东西，当前这个数的排名就是前缀 \(1\) 的个数，每次移动相当于对应区间加减，发现每次最大值更新只会在移动这个点之前达到最大，直接维护就可以了。

F

神奇的网络流，没见过的模型。。

网络流模型大多数都是考虑流量平衡或者增广路的意义。

这个题我们考虑流量平衡：如果这条边选择红色就从左往右流，选择蓝色就从右往左流。那么一个点的颜色就可以用入流和出流的差来刻画了，直接写一个上下界费用流即可。