HDU1024解题报告

　　HDU 1024题目是一道经典的DP问题，它的基础问题是HDU 1003。问题描述大致为：给定输入n，m和数组，然后把长度为n的数组划分成互不交叉的m个子段，要求输出m个子段和的最大值。

　　DP问题的关键是分析题目要求，写出递归公式。数组为a[](本文中数组下标从1开始计数)，把长度为i的数组划分成j段，各段的和用函数f(i,j)表示，且a[i]包含在j段中的某一段。要求出f(i,j)，就是把a[i]加入到划分的段中，分为以下两种情况：

　　1)a[]中前i-1个元素已经划分成j段，只需把a[i]放入第j段中，此时f(i,j)=f(i-1,j)+a[i];

　　2)a[]中前i-1个元素划分为j-1段，则a[i]单独作为第j段。此时f(i,j)=max{f(k,j-1)}+a[i],其中 j-1<=k<=i-1。

　　综合1)和2)，f(i,j)=max{f(i-1,j)+a[i],max{f(k,j-1)}+a[i]}=max{f(i-1,j),f(k,j-1)}+a[i],其中j-1<=k<=i-1 （*）。

　　递推公式有了，考虑初始情况，f(i,1)就是a[]前i个元素中各个子串和的最大值，即HDU 1003。显然，f[i,i]=∑a[i]=g(i)。

     可以把f(i,j)看做是二维数组，最终f(i,m)列中的最大值就是所求的结果。

　  但是仔细分析计算过程可以发现，f(i,j)只与f(i-1,j)和f(k,j-1)列中最大元素有关，我们可以记录下f(i,j)中每列的最大值，记为h(j)，f(i,j)可以简化成如下公式：

　　　　f(i)=f(i-1)+h(i-1) i>=2 ;h(i)=h(i)>f(i)?h(i):f(i)  (**)。

　　注意简化公式过程，在二维数组情况下是从左向右计算，而在一维数组情况下变成从右向左，因为f(i)需要用到没有更新前的f(i-1);

　　实现程序如下：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <limits.h>
#define N 1000000
#define M 1000000
int f[N],a[N],g[N],h[N];
//int *g,*h;
void init(int n){//计算f(i,1)
    int i;
    //g=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    g[1]=a[1];
    
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(g[i-1]+a[i]>a[i]){
            g[i]=g[i-1]+a[i];
        }
        else{
            g[i]=a[i];
        }
    }
    //printf("%d ",g[1]);
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(g[i]<g[i-1]){
            g[i]=g[i-1];            
        }
        //printf("%d ",g[i]);
    }
    //printf("\n");
}
int sum(int m,int n){
    int t;
    int i,j;
    //h=(int *)malloc(sizeof(int)*(m+1));
    init(n);
    for(j=1;j<=m;j++){
        h[j]=INT_MIN;
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        t=i;
        if(t<=m){
            f[t]=0;
            for(j=1;j<=t;j++){//计算对角线上的元素
                f[t]+=a[j];
            }
            if(h[t]<f[t]){
                h[t]=f[t];
            }
        }        
        if(t>m)
            t=m+1;        
        for(j=t-1;j>=2;j--){//从右向左算
            if(h[j-1]>f[j]){
                f[j]=h[j-1];
            }
            f[j]+=a[i];
            if(h[j]<f[j]){
                h[j]=f[j];
            }
        }
        f[1]=h[1]=g[i];//第一个元素值        
    }    
    return h[m];
}

int main(){
    int m,n,i;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=-1&&m&&n){
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            f[i]=INT_MIN;
        }
        printf("%d\n",sum(m,n));
        //free(g);
        //free(h);
    }
    
    return 0;
}