背包问题千千结：遍历顺序、内外循环，我们该如何思考？

背包问题中“遍历方向”与“内外循环”对结果的影响总结

核心关系表

问题类型	内外循环顺序	背包容量遍历方向	结果特征（核心影响）	典型题目	特殊案例验证（错误vs正确）
01背包（物品不可重复）	物品外循环	逆序（从大到小）	每个物品仅用1次，不考虑选择顺序	分割等和子集、目标和	若正序遍历，会重复选物品（如nums=[2], target=4会误判为可分割）
完全背包-组合	物品外循环	正序（从小到大）	物品可重复用，不考虑顺序（组合唯一）	零钱兑换II（凑数方法数）	若背包外循环，会多算排列（如coins=[1,2], amount=3会从2种→3种）
完全背包-排列	背包外循环	正序（从小到大）	物品可重复用，考虑顺序（排列不同）	组合总和IV（凑数方法数）	若物品外循环，会少算排列（如nums=[1,2], target=3会从4种→2种）
完全背包-最值	内外循环均可	正序（从小到大）	物品可重复用，与顺序无关（最值唯一）	零钱兑换（最少硬币数）	无论内外循环，结果一致（如coins=[1,2,5], amount=11均返回3）

结合特殊案例详解

一、01背包（物品不可重复使用）

核心逻辑：每个物品只能选1次，需通过“物品外循环+背包逆序遍历”避免重复使用。

特殊案例：nums=[2,3,5]，判断能否分割出和为5的子集（正确答案：能，选5或2+3）

• 错误做法（正序遍历背包）：
  处理num=2时，正序遍历j=2→5，会更新dp[2]=True，进而在j=4时用dp[2]更新dp[4]=True（相当于选了两次2），最终错误判断“能分割出和为4的子集”（实际nums中只有1个2）。

• 正确做法（逆序遍历背包）：

  def canPartition(nums):
      target = 5
      dp = [False] * (target + 1)
      dp[0] = True
      for num in nums:
          # 逆序遍历：从大到小，避免同一物品被重复选
          for j in range(target, num - 1, -1):
              dp[j] = dp[j] or dp[j - num]
      return dp[5]  # 返回True（正确）
  

  逆序遍历确保每个物品仅被使用1次，如处理num=2时，j=2更新dp[2]，但j=4不会再用dp[2]的新值（因j=4在j=2之前遍历），避免重复选择。

二、完全背包-组合（物品可重复，不考虑顺序）

核心逻辑：物品可重复使用，通过“物品外循环+背包正序遍历”实现重复使用，且保证组合顺序不影响结果。

特殊案例：coins=[1,2]，amount=3（正确组合数：2种：1+1+1、1+2）

• 错误做法（背包外循环）：
  先遍历金额j=1→3，再遍历硬币，会将“1+2”和“2+1”视为两种组合，最终结果为3（错误）。

• 正确做法（物品外循环）：

  def change(amount, coins):
      dp = [0] * (amount + 1)
      dp[0] = 1
      for coin in coins:  # 先固定硬币，保证顺序唯一
          for j in range(coin, amount + 1):
              dp[j] += dp[j - coin]
      return dp[3]  # 返回2（正确）
  

  物品外循环确保“先1后2”的固定顺序，不会出现“先2后1”的重复计数，组合数正确。

三、完全背包-排列（物品可重复，考虑顺序）

核心逻辑：物品可重复使用，通过“背包外循环+背包正序遍历”实现重复使用，且保证顺序不同视为不同结果。

特殊案例：nums=[1,2]，target=3（正确排列数：4种：1+1+1、1+2、2+1）

• 错误做法（物品外循环）：
  先遍历物品1再遍历物品2，会将“1+2”和“2+1”视为同一种，最终结果为2（错误）。

• 正确做法（背包外循环）：

  def combinationSum4(nums, target):
      dp = [0] * (target + 1)
      dp[0] = 1
      for j in range(1, target + 1):  # 先固定金额，再试所有物品
          for num in nums:
              if j >= num:
                  dp[j] += dp[j - num]
      return dp[3]  # 返回4（正确）
  

  背包外循环允许每个金额下尝试所有物品，自然包含“1+2”和“2+1”两种顺序，排列数正确。

四、完全背包-最值（特殊情况：顺序不影响结果）

核心逻辑：求“最少/最多”等最值时，因顺序不影响结果，内外循环可互换，只需保证正序遍历金额。

特殊案例：coins=[1,2,5]，amount=11（正确答案：3）

• 物品外循环：

  for coin in coins:
      for j in range(coin, amount + 1):
          dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)  # 结果3（正确）
  

• 金额外循环：

  for j in range(1, amount + 1):
      for coin in coins:
          if j >= coin:
              dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)  # 结果仍为3（正确）
  

原因：最值问题只关心“是否存在更少/更多的数量”，而不关心“用了哪些顺序”，因此循环顺序不影响结果。

总结：核心判断依据

1. 是否允许重复使用物品：

   • 逆序遍历背包 → 01背包（如分割等和子集，避免重复选2）；
   • 正序遍历背包 → 完全背包（如零钱兑换，允许重复用2元）。

2. 是否考虑顺序（仅影响“计数类”问题）：

   • 物品外循环 → 组合（如零钱兑换II，1+2和2+1算1种）；
   • 背包外循环 → 排列（如组合总和IV，1+2和2+1算2种）；
   • 最值类问题（如最少硬币数） → 顺序无关，循环可互换。

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跟我一起念：
物品只能用1次的，逆序遍历；跟顺序有关的，背包在外循环！
物品只能用1次的，逆序遍历；跟顺序有关的，背包在外循环！
物品只能用1次的，逆序遍历；跟顺序有关的，背包在外循环！