代码问题

困惑

  1. 字符串统计字符个数的快捷方式？
    c0 = sum(1 for char in str if char=='0')

  2. 0-1背包问题dp有哪些技巧？

    一、dp数组的含义：先搞懂“我要记什么”

    dp数组的本质是“用空间换时间，记录子问题的解”。定义dp时，关键是想清楚：“我需要用什么样的子问题结果，来推导更大的问题？”

    实用技巧：用“主谓宾”造句定义dp

    • 一维dp[j]：“在某种限制j下，能达到的目标值是多少”
      例：

      • 0-1背包：dp[j]表示“背包容量为j时的最大价值”；
      • 分割等和子集：dp[j]表示“能否凑出和为j的子集”。

    • 二维dp[i][j]：“在两种限制i和j下，能达到的目标值是多少”
      例：

      • 一和零问题：dp[i][j]表示“用不超过i个0和j个1时，最多能选多少字符串”；
      • 最长公共子序列：dp[i][j]表示“字符串s1前i个字符和s2前j个字符的最长公共子序列长度”。
    记忆诀窍：让dp的含义“服务于最终目标”

    最终要求什么，dp的定义就往什么方向靠。比如目标是“最大价值”，dp就定义为“某限制下的最大价值”；目标是“能否达成”，dp就定义为“某限制下能否达成”（布尔值）。

    二、初始化：从“最基本的情况”出发

    初始化的核心是回答：“当问题规模最小的时候，结果是什么？”（比如“什么都不选”“空字符串”的情况）

    常见场景与初始化逻辑

    1. “什么都不选”的情况

      • 0-1背包（最大价值）：dp[0] = 0（容量0，价值0）；
      • 分割等和子集（能否凑出）：dp[0] = True（和为0，不选任何元素就能达成）；
      • 目标和问题（方法数）：dp[0] = 1（和为0，只有“什么都不选”这1种方法）。

    2. 二维dp的初始化

      • 一和零问题：dp[0][0] = 0（0个0和0个1，只能选0个字符串）；
      • 最长公共子序列：dp[0][j] = 0、dp[i][0] = 0（空字符串和任何字符串的公共子序列长度为0）。
    记忆诀窍：“最小子问题”法

    想象问题简化到极致（比如输入为空、容量为0），此时的结果就是初始化值。如果想不通，就用具体例子倒逼：比如“目标和问题中，和为0的方法数至少有1种（什么都不选）”，所以dp[0] = 1。

    三、dp[0]的值：特殊但有规律

    dp[0]通常对应“限制为0”的子问题，其值取决于问题目标：

    问题类型 dp[0]的含义 常见值 原因
    最大价值（背包） 容量0时的最大价值 0 什么都装不下，价值为0
    能否凑出目标和 能否凑出和为0 True 不选任何元素即可达成
    方法数（目标和） 凑出和为0的方法数 1 只有“什么都不选”这1种方法
    计数（如路径数） 起点到起点的路径数 1 原地不动是1种路径
    关键提醒：dp[0]不是“默认0”，而是“逻辑起点”

    比如目标和问题中，dp[0] = 1看似特殊，但逻辑上：“不选任何元素”是一种有效的方法，必须计数。如果设为0，后续所有方法数都会少算这一种，导致结果错误。

    四、遍历范围：防重复、防越界的核心

    遍历范围的设置，本质是“保证子问题的解是‘之前计算的’，而不是‘当前更新的’”，避免逻辑错误（如0-1背包中元素被重复选择）。

    一维dp的遍历：“从大到小”是0-1背包的标志
    • 场景：每个元素只能用一次（0-1背包及变体）。
    • 遍历顺序：从目标值倒序遍历到当前元素的“重量”。
      例：目标为target，当前元素重量w，则for j in range(target, w-1, -1)。
    • 为什么？：倒序遍历能确保dp[j - w]是“没选当前元素时的旧值”，避免同一元素被多次使用。
    二维dp的遍历：外层元素，内层倒序
    • 场景：两个限制条件（如0和1的数量、两个字符串的长度）。
    • 遍历顺序：
      1. 外层遍历每个元素（保证每个元素只被考虑一次）；
      2. 内层两个维度都从大到小遍历（如i从m到c0，j从n到c1）。
    • 为什么？：和一维同理，防止当前元素被重复选择，同时避免数组越界（j - w不能为负）。
    记忆诀窍：“元素在外，容量在内，倒序防重”

    0-1背包及其变体（分割等和、目标和、一和零）都遵循这个规律：先逐个处理元素（外层），再从大到小处理容量（内层），核心是“不让当前元素干扰之前的子问题”。

    五、状态转移方程：“选或不选”的二选一逻辑

    状态转移是DP的“灵魂”，本质是“用子问题的解推导当前问题的解”，核心逻辑是“选当前元素”和“不选当前元素”的权衡。

    通用模板：两种选择取最优

    • 求最大值/数量（如最大价值、最多字符串数）：
      dp[j] = max(不选当前元素的解, 选当前元素的解 + 当前元素的贡献)
      例：0-1背包 dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + v)

    • 求能否达成（如能否凑出目标和）：
      dp[j] = 不选当前元素能否达成 OR 选当前元素能否达成
      例：分割等和子集 dp[j] = dp[j] or dp[j - num]

    • 求方法数（如目标和的方法数）：
      dp[j] = 不选当前元素的方法数 + 选当前元素的方法数
      例：目标和 dp[j] += dp[j - num]

    记忆诀窍：先想“选了会怎样”，再结合“不选的情况”

    1. 假设选当前元素：需要什么子问题的解？（比如j - w的解）
    2. 不选当前元素：直接用之前的解（dp[j]的旧值）
    3. 用逻辑运算符（max/or/+）将两者结合，得到当前问题的解。
    六、总结：动态规划“五字诀”

    最后用五个字帮你串联所有要点，遇到问题时按这个顺序推导，很快就能理清思路：

    1. “定”：定义dp的含义（主谓宾造句，服务于目标）；
    2. “初”：初始化dp（从最小子问题出发，如“什么都不选”）；
    3. “边”：确定遍历边界（倒序防重复，范围防越界）；
    4. “转”：写状态转移方程（选或不选二选一，用合适的逻辑结合）；
    5. “答”：确定最终答案在dp的哪个位置（通常是dp[目标值]）。

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