HDU 3516 Tree Construction (四边形不等式)

题意：给定一些点(xi,yi)(xj,yj)满足:i<j,xi<xj,yi>yj。用下面的连起来，使得所有边的长度最小？

思路:考虑用区间表示，f[i][j]表示将i到j的点连起来的最小代价。

那么f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+cost(i,j)

cost(i,j)=a[k].y-a[j].y+a[k+1].x-a[i].x;

看起来和四边形不等式有关系，我们需要证明以下(a<b<c<d)

cost(a,c)+cost(b,d)<=cost(a,d)+cost(b,c)

cost(b,c)<=cost(a,d)

有个结论:w为凸当且仅当:cost(i,j)+cost(i+1,j+1)<=cost(i+1,j)+cost(i,j+1)

这个证明只需要固定i,j中的某一个，然后移动另一个即可.

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
int f[1005][1005],s[1005][1005],n;
struct Point{
    int x,y;
}a[500005];
int cost(int i,int j,int k){
    if (k>=j) return 0x3f3f3f3f; 
    return a[k].y-a[j].y+a[k+1].x-a[i].x;
}
int main(){
    while (~scanf("%d",&n)){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
        }
        for (int i=1;i<=n;i++) s[i][i]=i;
        memset(f,0,sizeof f);
        for (int L=2;L<=n;L++)
         for (int i=1;i+L-1<=n;i++){
                int j=L+i-1;f[i][j]=0x3f3f3f3f;
                for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                    int tmp=f[i][k]+f[k+1][j]+cost(i,j,k);
                    if (tmp<f[i][j]) f[i][j]=tmp,s[i][j]=k;
                }
        }
        printf("%d\n",f[1][n]); 
    }
}