KMP
比如说，你想要在一篇文章中找到一个特定的字符串，显然，Ctrl+F即可。
那么，如何在代码中实现这个功能呢？
例1 P3375【模板】KMP字符串匹配
给定两字符串 \(s_1\) 和 \(s_2\)，输出 \(s_2\) 在 \(s_1\) 中出现的所有位置及 border 数组（后面会讲）。
我们先令 \(|s_1|,|s_2|\) 为两字符串的长度且都以下标 \(1\) 开始。
先考虑第一个询问，显然，我们可以暴力枚举 \(s_1\) 的每一位作为 \(s_2\) 的第一位，之后枚举 \(|s_2|\) 的每一位比较。这样的复杂度是 \(\mathcal{O}(|s_1\|s_2|)\) 的（应该是吧），我们考虑是否有更加简单的方法。
假设 \(s_1=AAAAAAAAAB,s_2=AAB\)，那么，我们看一看模拟的过程就能发现：
第一次匹配 \(s_1\) 的前三位，在最后一位时不匹配；
\(A\ A\ \color{red}A\ A\ A\ A\ A\ A\ A\ B\)
\(A\ A\ \color{red}B\)
第二次匹配二到四位，在最后一位时不匹配；
\(A\ A\ A\ \color{red}A\ A\ A\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad A\ A\ \color{red}B\)
……
我们发现，每次都是在最后一位时不匹配（即失配），这将复杂度大大提升了。而在观察后我们知道，既然在最后一位失配了，那么说明在前几位中两字符串一定是匹配的。这提示我们可以直接跳过某些位置，而直接从后面可能的位置开始匹配。
假设 \(s_1=ABCABABCABC,s_2=ABCABC\)。
首先我们在 \(s_1\) 的第一位开始匹配：
\(A\ B\ C\ \color{green}{\underline{A\ B}}\ \color{red}{A}\ A\ B\ C\ A\ B\ C\)
\(\color{green}{\underline{A\ B}}\ C\ A\ B\ \color{red}{C}\)
在失配时，我们发现，前 \(5\) 位都是匹配的，且为 \(ABCAB\)，所以我们下一次是不是可以不从 \(s_1\) 的第二位，而是用这五位中开头和最后都有的 \(\color{green}{\underline{AB}}\) 来快速跳过中间不可能成功的字符，也就是直接快进到：
\(A\ B\ C\ \color{green}{\underline{A\ B}}\ A\ A\ B\ C\ A\ B\ C\)
\(\quad\quad\quad\color{green}{\underline{A\ B}}\ C\ A\ B\ C\)
我们可以再举一个例子，假设 \(s_1=AAAAABAAAB,s_2=AAAAB\)。先从 \(s_1\) 的第一位开始匹配：
\(A\ \color{green}{\underline{A\ A\ A}}\ \color{red}{A}\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\color{green}{\underline{A\ A\ A}}\ A\ \color{red}B\)
此时在第 \(5\) 位失配，我们发现前 \(4\) 位 \(AAAA\) 中都存在 \(\color{green}{\underline{AAA}}\)，于是我们快进到这两处重合时继续匹配：
\(A\ \color{green}{\underline{A\ A\ A}}\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad\color{green}{\underline{A\ A\ A}}\ A\ B\)
有人可能会问：第二组例子为什么选的一定是 \(AAA\) 而不是 \(A\) 和 \(AA\) 之类的，显然这两个都位于匹配成功的串的开头和结尾，能够帮助我们快速向后跳转，甚至跳转地更多，为什么不选他们呢？
其实很简单，我们假设使用 \(\color{green}{\underline{AA}}\) 作为我们选择的串，那么就会跳转到：
\(A\ [A\ \color{green}{\underline{A\ A}}\ A\ B\,]\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad\quad\;\color{green}{\underline{A\ A}}\ A\ A\ \;B\)
显然我们漏了一组解，这就是跳转太快的后果。
所以我们每次失配时，我们都要选择一个子串，使得它既是失配位置前子串（即匹配成功的部分）的真前缀（即前缀，但是不等于整个串）又是真后缀（这样才能快速跳转），而且要长度最大（确保不漏解）。我们发现开始时就能枚举好这些子串，而这就是 KMP 中最重要的 \(next\) 数组（即题中 border 数组）。
next 数组
\(next_i\) 表示在 \(i\) 位置失配时，我们应该将 \(s_2\) 后移几位继续下一次匹配，即 \(s_2[1]\sim s_2[i-1]\) 中最长的相等的真前缀与真后缀的长度（注意不一定非得是 \(s_2[1]\sim s_2[i-1]\)，根据题目我们也可以改成 \(s_2[1]\sim s_2[i]\) 的）。所以我们的 \(next\) 数组是对 \(s_2\) 求解的。
显然，\(next_1=0\)，因为在 \(1\) 位置前没有字符；\(next_2=0\)，因为在 \(2\) 之前的子串为 \(s_2[1]\)，不存在真前缀和真后缀。
而 \(i\ge 3\) 时，我们考虑如何求解 \(next_i\)。
假设我们已经求解出了 \(next_{1\sim i-1}\)，那么，我想求 \(next_i\)，就相当于是求 \(s_2[1]\sim s_2[i-1]\) 的最长相等的真前、后缀的长度。而我们已经知道 \(s_2[1]\sim s_2[i-2]\) 的这个值了（即为 \(next_{i-1}\)），所以我们发现，如果 \(s_2[next_{i-1}+1]=s_2[i-1]\) 的话（上图中红色箭头指向的一对），因为 \(s_2[1]\sim s_2[next_{i-1}]\) 和 \(s_2[(i-1)-next_{i-1}]\sim s_2[i-2]\) 正好相等（上图中淡黄色部分），所以 \(s_2[1]\sim s_2[next_{i-1}+1]\) 和 \(s_2[(i-1)-next_{i-1}]\sim s_2[i-1]\) 就相等，而这就是我们想要求的 \(next_i\) 了。
但是若 \(s_2[next_{i-1}+1]=s_2[i-1]\) 的话，我们不妨再看 \(s_2[1]\sim s_2[next_{i-1}]\) 的最长相等的真前、后缀，即 \(next_{(next[i-1]+1)}\)（下图中浅绿色部分），由于两淡黄色部分一样，故两部分的首位都是浅绿的那一部分。所以，若 \(s_2[next_{(next[i-1]+1)}+1]=s_2[i-1]\) 的话（下图中淡黄色部分），\(s_2[1]\sim s_2[next_{(next[i-1]+1)}+1]\) 就是我们所要的一段。
若还不是，同理，我们继续找浅绿色段的 \(next\)，直到找到或搜完，若搜完了还没找到则无解。
我们举个例子理解一下。
初始时：
\(\quad s_2:A\ B\ C\ A\ B\ B\ A\ B\ C\ A\ B\ C\)
\(next:\,0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5\ \ \color{red}{?}\)
假设我们要求 \(next_{13}\)，即整个串中最长的相等的真前缀与真后缀的长度，根据我们所说，先比较 \(s_2[next_{i-1}+1]\) 和 \(s_2[i-1]\)（蓝色字符）：
\(\quad s_2:\color{green}{\underline{A\ B\ C\ A\ B}}\ \color{blue}{B}\ \color{green}{\underline{A\ B\ C\ A\ B}}\ \color{blue}{C}\)
\(next:\,0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ \color{green}{5}\ \ \color{red}{?}\)
若它们相等，那么答案就是 \(6\)，因为 \(s_2[1]\sim s_2[6]\) 和 \(s_2[7]\sim s_2[12]\) 就相等了。但是不相等，那么，我们再找 \(next[next_{i-1}+1]\) 即 \(next_6 = 2\)：
\(\quad s_2:\color{green}{\underline{\color{orange}{A\ B}\ \color{blue}{C}\ \color{orange}{A\ B}}}\ B\ \color{green}{\underline{\color{orange}{A\ B}\ C\ \color{orange}{A\ B}}}\ \color{blue}{C}\)
\(next:\,0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ \color{green}{2}\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5\ \ \color{red}{?}\)
此时我们发现 \(s_2[next_6+1]=s_2[i-1]\)，发现相等，那么我们的答案就是 \(next_6+1=3\):
\(\quad s_2:\color{green}{\underline{A\ B\ C}}\ A\ B\ B\ A\ B\ C\ \color{green}{\underline{A\ B\ C}}\)
\(next:\,0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ 5\ \ \color{red}{3}\)
对于题中第二个询问，即 border 数组的输出，我们只需要输出 \(next_2\sim next_{|s_2|+1}\) 即可（后移一位是因为我们的 \(next_i\) 存 \(s_2[1]\sim s_2[i-1]\) 的答案）。
主体部分
在求解了 \(next\) 之后，我们进行答案的求解。
我们先设两个变量 \(i,j\) 分别进行 \(s_1\) 和 \(s_2\) 的匹配。
首先，我们令 \(s_1=s_2=1\)，并逐位向后进行配对。等到失配时，我们就将 \(j\) 往回倒到 \(next_{j}+1\) 进行下一次匹配。特殊地，若 \(j=1\) 说明第一位就失配了，直接将 \(i++\) 即可。
若判断到有 \(s_2\) 包含在 \(s_1\) 时，输出答案后，我们要将 \(s_2\) 再向前移到下一个位置继续匹配，此时我们可以看作是在下一位失配了，将 \(i++,j=next_{j+1}+1\) 即可。
直到 \(i\) 匹配完时结束程序。
- 举一个例子：
（以红色代表 \(i,j\) 正在匹配的位置，绿色+下划线代表匹配成功的位置，其中的橙色字符代表匹配成功的串的最长相等的真前后缀，再其中橙色下划线的代表下一次移位对齐的部分）
\(\quad s_1 = \color{red}{A}\ B\ A\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\)
\(next =\,0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 首先逐位匹配，到 \(i=j=5\) 时失配：
\(\quad s_1 = \color{green}{\underline{\color{orange}{A}\ B\ A\ }\color{orange}{\underline{A}}}\ \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \color{green}{\color{orange}{\underline{A}}\underline{\ B\ A\ \color{orange}{A}}}\ \color{red}{B}\)
\(next =\,0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ \color{red}{1}\ \ 2\) - 将 \(j\) 跳转到 \(next_j+1\)，为了方便我们将 \(i,j\) 对齐：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ \color{green}{\underline{A}}\ \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\quad \color{green}{\underline{A}}\ \color{red}{B}\ A\ A\ B\)
\(next =\,\qquad\quad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 再次逐位向后匹配，在 \(j=2\) 时失配：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ \color{green}{\underline{A}}\ \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\quad \color{green}{\underline{A}}\ \color{red}{B}\ A\ A\ B\)
\(next =\,\qquad\quad 0\ \ \color{red}{0}\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 由于此时 \(next_j = 0\)，将 \(j\) 跳转至 \(0+1 = 1\)：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\)
\(next =\,\qquad\qquad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 再次逐位匹配到 \(j=5=|s_2|\)，说明匹配成功了，输出答案，并将 \(i++,j=next_{j+1}+1\)（看作下一位失配）（防止颜色重叠此时 \(i,j\) 往前移了一位，就是看做这里失配了）：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ \color{green}{\underline{\color{orange}{A\ B}\ A\ }\color{orange}{\underline{A\ B}}}\ \color{red}{A}\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad \color{green}{\color{orange}{\underline{A\ B}}\underline{\ A\ \color{orange}{A\ B}}}\ \color{red}{\,\_}\)
\(next =\,\qquad\qquad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ \color{red}{2}\) - 此时 \(j=3\)：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ A\ B\ A\ \color{green}{\underline{A\ B}}\ \color{red}{A}\ A\ B\ A\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad\qquad\quad \color{green}{\underline{A\ B}}\ \color{red}{A}\ A\ B\)
\(next =\,\qquad\qquad\qquad\quad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 再次逐位匹配到最后发现再次匹配成功，输出答案，重复操作：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ A\ B\ A\ \color{green}{\underline{\color{orange}{A\ B}\ A\ }\color{orange}{\underline{A\ B}}}\ \color{red}{A}\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad\qquad\quad \color{green}{\color{orange}{\underline{A\ B}}\underline{\ A\ \color{orange}{A\ B}}}\ \color{red}{\,\_}\)
\(next =\,\qquad\qquad\qquad\quad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ \color{red}{2}\) - \(j\) 移位后：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ \color{green}{\underline{A\ B}}\ \color{red}{A}\ A\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \color{green}{\underline{A\ B}}\ \color{red}{A}\ A\ B\)
\(next =\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 逐位匹配，\(j=5\) 时失配：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ \color{green}{\underline{\color{orange}{A}\ B\ A\ }}\color{orange}{\underline{A}}\ \color{red}{A}\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \color{orange}{\underline{A}}\color{green}{\underline{\ B\ A\ \color{orange}{A}}}\ \color{red}{B}\)
\(next =\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ \color{red}{1}\ \ 2\) - 跳转 \(j\)：
\(\quad s_1 = A\ B\ A\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ A\ B\ A\ \color{red}{A}\ A\ B\)
\(\quad s_2 = \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \color{red}{A}\ B\ A\ A\ B\)
\(next =\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 2\) - 向后跳转匹配，发现 \(i\) 出界了，结束。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 1000005
#define next nnext
using namespace std;
char a[maxn],b[maxn];
int next[maxn];
int main(){
cin>>a+1>>b+1;int la=strlen(a+1),lb=strlen(b+1);
//求解 next
next[1]=0;next[2]=0;
for(int i=3;i<=lb+1;i++){
int j=next[i-1];
while(j>=1&&b[j+1]!=b[i-1]) j=next[j+1];
if(b[j+1]==b[i-1]) j++; next[i]=j;
}
// for(int i=1;i<=strlen(b+1);i++) printf("%c ",b[i]);printf("\n");
// for(int i=1;i<=strlen(b+1)+1;i++) printf("%d ",next[i]);
//求解答案
for(int i=1,j=1;i<=la;){
if(a[i]!=b[j]){
if(j==1) {i++;continue;}
j=next[j]+1;
continue;
}
if(j==lb){printf("%d\n",i-lb+1);i++;j=next[j+1]+1;continue;}
i++;j++;
}
for(int i=2;i<=lb+1;i++) printf("%d ",next[i]);
return 0;
}
/*
ABAAABAABAABAAAB
ABAAB
*/
浙公网安备 33010602011771号