数论基础

整除

定义

若 \(a,b\in \Z,a\neq 0\)。若\(\;\exist\ q\in\Z,b=aq\)，则 b 可被 a 整除，记作 \(a\mid b\)。b 不被 a 整除记作 \(a\nmid b\)。

性质

• \(a\mid b\Leftrightarrow-a\mid b\Leftrightarrow a\mid-b\Leftrightarrow |a|\mid|b|\)
• \(a\mid b\;\land\;b\mid c \Rightarrow a\mid c\)
• \(a\mid b\;\land\;a\mid c \Leftrightarrow \forall x,y\in\Z,a\mid(xb+yc)\)
• \(a\mid b\;\land\;b\mid a\Rightarrow b=\pm a\)
• \(a\mid b\Leftrightarrow ma\mid mb\ (m\neq0)\)
• \(a\mid b\Rightarrow |a|\le|b|\ (b\neq 0)\)
• 若\(\;a\neq 0,b=qa+c\)，则\(\;a\mid b\Leftrightarrow a\mid c\)
• \(\forall b\neq 0,b\in\Z,b\;\)的因数只有有限个。
• \(\forall b\neq 0\)，若 \(d\mid b\)，则 \(\dfrac{b}{d}\mid b\)

gcd 与 lcm

见此。

素数与合数

定义

若 \(p\neq 0,\pm1\)，且 p 除 \(\pm1,\pm p\) 外没有因数，则 p 为素数，否则为合数。

性质

• p 与 -p 同为素数或合数。
• 若素数 p 的一个因数 \(d>1\)，则 \(d=p\)
• 若 a 为合数，一定有素数 \(d\le\sqrt{a}\) 使得 \(d\mid a\)
• 任何大于 3 的素数都能表示为 \(6n+1\) 或 \(6n-1\) 的形式（\(n\in\Z\)）

证明：
由于 \(n\in\Z\) 时，显然 \(2\mid 6n,2\mid (6n+2),2\mid (6n+4),3\mid (6n+3)\)，所以大于 3 的素数不能表示为 6n/6n+2/6n+3/6n+4，只能表示为 6n+1/6n+5（即 6n-1）。

算数基本定理（唯一分解定理）

引理

若 p 为素数，\(p\mid a_1a_2\)，必有 \(p\mid a_1\) 或 \(p\mid a_2\)

内容

对于大于 1 的合数 N 都能唯一分解为有限个质数的乘积，即 \(N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_n^{a_n}(p_1<p_2<…<p_n\) 且均为素数 \(,a_1,a_2,…,a_n\in\N^*)\)

同余

定义

若 m 满足 \(m\mid(b-a)\)，则在模 m 意义下 a 和 b 同余，记作 \(a\equiv b\pmod m\)。

性质

• \(a\equiv a\pmod m\)
• \(a\equiv b\pmod m\Leftrightarrow b\equiv a\pmod m\)
• \(a\equiv b\pmod m,b\equiv c\pmod m\Rightarrow a\equiv c\pmod m\)
• 若 \(a,b,c,d\in\Z,m\in\N^*,a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m\)，则：
  \(a\pm c\equiv b\pm d\pmod m,a\times c\equiv b\times d\pmod m\)
• 若 \(a,b\in\Z,k,m\in\N^*,a\equiv b\pmod m\)，则 \(ak\equiv bk\pmod {mk}\)
• 若 \(a,b\in\Z,d,m\in\N^*,d\mid a,d\mid b,d\mid m,a\equiv b\pmod m\)，则 \(\dfrac{a}{d}\equiv \dfrac{b}{d}\pmod {\dfrac{m}{d}}\)
• 若 \(a,b\in\Z,d,m\in\N^*,d\mid m,a\equiv b\pmod m\)，则 \(a\equiv b\pmod d\)
• 若 \(a,b\in\Z,m\in\N^*,a\equiv b\pmod m\)，则 \(\gcd(a,m)=\gcd(b,m)\)，所以若 d 整除 m 及 a,b 中的一个，则能整除 a,b 中的另一个。

证明：
设 \(a=pm+r,b=qm+r(0\le r<m)\)
根据辗转相除法，\(\gcd(a,m)=\gcd(m,a\bmod m)=\gcd(m,(pm+r)\bmod m)=\gcd(m,r)\)，同理\(\gcd(b,m)=\gcd(m,r)\)
所以 \(\gcd(a,m) = \gcd(b,m)\)