P3082 [USACO13MAR] Necklace G

闲聊：警示后人，\(dp_{i,m}\) 为不合法状态。

本题解是在读了题解区其他 dalao 的题解后，根据我个人的理解进行了一些补充说明后写出来的，算是比较详尽。

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也许更好的阅读体验

（以下称项链串为 \(s1\) 或文本串，名字串为 \(s2\) 或模式串）

首先，最少删除字符个数似乎不是很好做，我们把它转化成最多保留多少字符。

其次，本题涉及字符串匹配问题，我们可能要考虑哈希或 KMP。

那这是一个最值类问题， 我们考虑 dp。设 \(dp_{i,j}\) 表示当前文本串的前 \(i\) 位已经匹配完毕，而且此时匹配到了模式串第 \(j\) 位，最多能保留多少字符。

填表法转移似乎不简单，不如考虑刷表法，即考虑 \(dp_{i,j}\) 可以转移到哪里。

前 \(i\) 位已经匹配完了，那我们就看看，考虑 \(s1_{i+1}\) 后会出现什么情况。

第一种情况，我们舍弃 \(s1_{i+1}\)，那能转移到的状态就是 \(dp_{i+1,j}\)，此时 \(dp_{i+1,j}= \max (dp_{i+1,j},dp_{i,j})\)。

第二种情况，我们保留 \(s1_{i+1}\)，并让它参与匹配。假设它参与匹配后能匹配到第 \(k\) 位，那么能转移到的状态就是 \(dp_{i+1,k}\)，此时 \(dp_{i+1,k}= \max (dp_{i+1,k},dp_{i,j}+1)\)。

但是，这个 \(k\) 怎么处理？于是我们想办法另开一个辅助数组 \(g_{i,j}\) 表示已经匹配上了模式串的前 \(i\) 位，当前要加入文本串的一个字符 \(j\) 后继续匹配，能匹配到模式串第几位。它就是卡着刚才 \(k\) 的定义量身打造的。

第一种情况很好想，模式串的第 \(i+1\) 位恰好是字符 \(j\)，此时 \(g_{i,j}=i+1\)。

第二种情况，两个位置的字符没有匹配上，我们联想到 KMP 算法里那个失配的情况，它俩几乎是一模一样的：KMP 正是在考虑加入文本串 \(j\) 字符时失配的情况下，模式串的指针该滑到哪里。我们照着 KMP 里的这种情况转移，令 \(g_{nxt_i,j}\)。

可能有所不同的是，KMP 里面是不断让 \(j=nxt_{j}\)，跳到自己最长 border 的结束位置，但是 \(g_{i,j}=g_{nxt_i,j}\) 只赋值一次即可，因为继续往下跳的情况 \(g_{nxt_i,j}\) 已经考虑完了。

总之我们的 \(g\) 数组处理完了，\(k\) 就能表示为 \(g_{j,s1_{i+1}}\)，\(dp\) 第二种情况的转移方程式为 \(dp_{i+1,g_{j,s1_{i+1}}}= \max (dp_{i+1,g_{j,s1_{i+1}}},dp_{i,j}+1)\)。

代码：

P3082

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<48){
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>47) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}

const int N=1e4+4;
const int M=1e3+3;
int n,m,nxt[M],g[M][30],dp[N][M];
char s1[N],s2[M];
//nxt[i]:KMP中预处理模式串要用的数组 
//dp[i][j]:当前文本串匹配到第i位，模式串匹配到第j位，最多保留数字的个数
//g[i][j]:当前匹配到模式串的第i位，要往后面加入字符j，此时能匹配到模式串的第几位 

signed main(){
	scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
	n=strlen(s1+1),m=strlen(s2+1);
	int j=0;
	//预处理nxt[i] 
	for(int i=2;i<=m;i++){
		while(j&&s2[i]!=s2[j+1]){
			j=nxt[j];
		}
		if(s2[i]==s2[j+1]) nxt[i]=j+1,j++;
	}
	//处理g数组 
	for(int i=0;i<m;i++){//i==0的状态也是合法的 
		for(int k=1;k<=26;k++){
			if(s2[i+1]-'a'+1==k){
				g[i][k]=i+1;
			}
			else{
				g[i][k]=g[nxt[i]][k];
			}	
		}
	}
	//刷表转移dp（注意我们不能用j==m的不合法状态转移其他状态） 
	for(int i=0;i<=n;i++){//i==0的状态也是合法的 
		for(int j=0;j<m;j++){
			dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]);
			dp[i+1][g[j][s1[i+1]-'a'+1]]=max(dp[i+1][g[j][s1[i+1]-'a'+1]],dp[i][j]+1);	
		}
	}
	int ans=0;
	//i==m的状态不合法，不能用于统计答案 
	for(int i=0;i<m;i++){
		ans=max(ans,dp[n][i]);
	}
	printf("%lld",n-ans);
	return 0;
}