P4427 [BJOI2018] 求和

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（以下记每个点的点权为它在此题中的深度）

（以下运算均忽略取模）

我曾经听说过一个技巧：对于有关树上路径的一类问题，我们可以把 \(u -> v\) 的路径拆成 \(u->LCA\) 和 \(v->son_{LCA}\) 两条链，其中 \(LCA\) 是 \(u,v\) 的最近公共祖先，\(son_{LCA}\) 指的是 \(v\) 的祖先中是 \(LCA\) 的儿子的节点。

而且我们发现这样拆的话，两条链上的点权还是连续的。这意味着我们可以直接预处理出一个 \(qwq_{i,j}\) （别问为什么是这个名，因为前缀），表示 \(1^i+2^i+\cdots+j^i\) 的值。

这样对于某组查询 \((u,v,k)\)，我们假设 \(a=dep_{u},b=dep{v},c=dep_{LCA},d=dep_{fa_{LCA}}\)，这样我们拆出来的第一条链的贡献是 \(qwq_{k,a}-qwq_{k,d}\)，第二条链的贡献就是 \(qwq_{k,b}-qwq_{k,c}\)，有点类似前缀和差分的思想。

该查询的最终结果就是两个贡献相加。

然后我们发现这个题结束了。我们直接倍增求LCA（当然你怎么求都行，不做要求），然后根据上面式子求答案就是了。

时间复杂度 \(O(nk \log k + (n + m) \log n)\)。

代码：

P4427

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define _(x,y) (((x-y)%mod+mod)%mod)
using namespace std;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<48){
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>47) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}

const int N=3e5+5;
const int mod=998244353;
int n,m,h[N],tot,dep[N],f[23][N],qwq[52][N];
struct sw{
	int u,v,nxt;
}e[2*N];

inline void add(int u,int v){
	e[++tot]={u,v,h[u]};h[u]=tot;
}

inline void dfs(int u,int fa){
	for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(v==fa) continue;
		f[0][v]=u;
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfs(v,u);
	}
}

inline int qpow(int a,int b){//快速幂 
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
		a=(a*a)%mod,b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline int lca(int x,int y){//求最近公共祖先 
	if(dep[x]<dep[y]){
		swap(x,y);
	}
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(dep[f[i][x]]>=dep[y]){
			x=f[i][x];
		}
	}
	if(x==y){
		return y;
	}
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[i][x]!=f[i][y]){
			x=f[i][x],y=f[i][y];
		}
	}
	return f[0][x];
}

signed main(){
	n=read();
	//qwq数组预处理 
	for(int i=1;i<=50;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			qwq[i][j]=(qwq[i][j-1]+qpow(j,i))%mod;
			//我是用快速幂推的qwq数组，当然也可以不用快速幂省个log 
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read();
		add(u,v);add(v,u);
	}
	//LCA&dep预处理 
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=20;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];
		}
	}
	m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=read(),v=read(),k=read();
		int LCA=lca(u,v);
		//_(x,y)详见define 
		//u->LCA
		int ans1=_(qwq[k][dep[u]],qwq[k][dep[f[0][LCA]]]);
		//v->son[LCA]
		int ans2=_(qwq[k][dep[v]],qwq[k][dep[LCA]]);
		int ans=(ans1+ans2)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}