P14304 【MX-J27-T1】分块

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我们发现这个题是 T1，但它的 \(n\) 很大，于是我们可以合理推断这是个结论题或诈骗题。

我们考虑 \([m^2,(m+1)^2)\) 这个区间里有哪些数满足题中所述的条件。显然 \([1^2,2^2),[2^2,3^2), \cdots ,[m^2,(m+1)^2),[(m+1)^2,(m+2)^2), \cdots\) 这些区间拼起来肯定是连续的，不会少算答案。

这样的好处很显然，可以直接去掉根号下取整，也就是对于这个区间里的任意一个数 \(x\)，\(\lfloor \sqrt{x} \rfloor = m\)。

这样的话问题就转换成了这个区间里有多少 \(m\) 的因数。那不就是 \(m^2,m^2+m,m^2+2m\) 这三个嘛（因为 \((m+1)^2=m^2+2m+1\)，所以 \(m^2+3m,m^2+4m\) 及之后的数并不在这个区间内）。

也就是对于所有形如这样的区间，都只有 3 个数满足条件。

所以我们对于每个 \(n\)，找到最大的一个正整数 \(m\) 使得 \(m^2 \le n\)，这样最后一个在区间范围内的、形如上述区间的区间就是 \([(m-1)^2,m^2)\)，所以前面会有 \(m-1\) 个这样的区间，答案就会先累加一个 \(3(m-1)\)。

接下来对 \(n\) 分类讨论一下，看看对于 \([m^2,(m+1)^2)\) 这个区间，\(m^2,m^2+m,m^2+2m\) 这三个数是否小于 \(n\) 即可，小于则将它们累加进答案。

代码：

P14304

#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128
using namespace std;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<48){
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>47) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}

inline void write(int x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x<10) putchar(x+'0');
	else write(x/10),putchar(x%10+'0');
}

int q;

inline int erfen(int x){
	int l=1,r=x;
	while(l<r){
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if(mid*mid<=x){
			l=mid;
		}
		else{
			r=mid-1;
		}
	}
	return l;
}

signed main(){
	q=read();
	while(q--){
		int n=read();
		int fang=erfen(n);
		//为了防止sqrt下取整有误差，我用了一个手写二分 
		int ans=3*fang-3;
		//第一次累加答案，然后分讨
		if(n<fang*(fang+1)){//只能取m^2
			ans+=1;
		}
		else if(n<fang*(fang+2)){//能取的是m^2,m^2+m 
			ans+=2;
		}
		else{//m^2,m^2+m,m^2+2m三个数都能取 
			ans+=3;
		}
		write(ans);printf("\n");
	}
	return 0;
}

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