P1092 [NOIP 2004 提高组] 虫食算
一.30分暴力
首先 30 分暴力很简单，使用dfs枚举 \(0\) ~ \(n-1\) 的排列，并在枚举到一个排列时判断是否合法就行了。
这里贴个代码，因为后面代码都是有关dfs的剪枝。
P1092_30分暴力
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<48){
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>47) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
return x*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else write(x/10),putchar(x%10+'0');
}
const int N=30;
int n,p[N],ans,vis[N],fl;
char s1[N],s2[N],s3[N];
inline bool chk(){
int jw=0;
for(int i=n;i>=1;i--){
int dq1=p[(int)(s1[i]-'A'+1)];
int dq2=p[(int)(s2[i]-'A'+1)];
int dq3=p[(int)(s3[i]-'A'+1)];
if(dq1+dq2+jw==dq3){
jw=0;
}
else if(dq1+dq2+jw==dq3+n){
jw=1;
}
else{
return 0;
}
}
if(jw==1){
return 0;
}
else{
return 1;
}
}
inline void dfs(int pos){
if(fl) return ;
if(pos==n){
int res=chk();
if(res){
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%lld ",p[i]);
}
fl=1;return ;
}
}
for(int i=n-1;i>=0;i--){
if(!vis[i]){
vis[i]=1;
p[pos+1]=i;
dfs(pos+1);
vis[i]=0;
}
}
}
signed main(){
n=read();
scanf("%s%s%s",s1+1,s2+1,s3+1);
dfs(0);
return 0;
}
这个暴力哪都好，就是讨论了很多种无用的情况，所以我们给它剪剪枝。
二.正解
剪枝一
首先易得，两个 \(n\) 位数相加还是 \(n\) 位数，说明最高位肯定是没有进位的，也就是 \(jw=0\) 。
但这个好像没什么太大用，我们接着考虑一点别的剪枝。
剪枝二
上面这个代码是枚举完排列才判断是否合法的，那有没有一种方法能在查找排列过程中就判断是否合法呢？
有的兄弟，有的。
我们把三个数看做一个 \(3 \times n\) 的矩阵，然后从上往下，从低位往高位去填每个字母可能对应的数字。
（下面的 \(num1,num2,num3\) 分别表示对于某一列来说，第一行的数字，第二行的数字，第三行的数字）
首先对于某一位，无解情况的判断肯定是填到第 3 行进行的。（不然呢？）
其次，如果这一位里你填到第三行，发现第一行+第二行+上一位进位的结果与第三行不相同（即 $(num1+num2+jw) \mod n \neq num3 $ ），那肯定是无解的，直接返回就行。
剪枝三
除此以外，我们有第三个剪枝优化：
由于相同字母对应的数相同，所以如果我们枚举低位字母对应的数，那么高位的一些字母也能提前转化成数。
这样我们填到第 \(y\) 列的时候，就可以提前判断一下高位 \(1\) ~ \(y-1\) 是否有可能无解了。
虽然我们不清楚高位的进制情况，但由于在 \(n\) 进制加法里， \(jw\) 的取值只有 \(0\) 和 \(1\) 两种，所以说高位 \(num3\) 的取值只有两种： \((num1+num2) \mod n\) 和 \((num1+num2+1) \mod n\)。
这样在 \(num1,num2,num3\) 都确定的情况下，我们就可以判断高位的合法性了。
总结
总结一下，相较于上面暴力代码，我们这次是从右往左，从上往下枚举了每一个位置字母的取值，每当有一个新取值就给它记录下来，并增加了三个剪枝：
1.最高位计算完后的进位一定是 \(0\)。
2.对于第三行一个填完的数，如果 $(num1+num2+jw) \mod n \neq num3 $ ，则无解。
3.对于第 \(y\) 列来说， \(1\) ~ \(y-1\) 的某个高位如果满足 三个字母都有取值 且 \((num1+num2) \mod n \neq num3\) && $(num1+num2+1) \mod n \neq num3 $ ，则无解。
这样这个题的搜索做法就有了。
代码：
P1092_搜索
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<48){
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>47) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
return x*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else write(x/10),putchar(x%10+'0');
}
const int N=30;
int n,cp[N],ans;
char a[4][N];
map<char,int> mp;
//mp[c]:字符c对应的数字是几
//cp[i]:数字i是否被字符匹配
inline bool chk(int pos){//判某个高位是否非法的
if(mp[a[1][pos]]!=-1&&mp[a[2][pos]]!=-1&&mp[a[3][pos]]!=-1&&(mp[a[1][pos]]+mp[a[2][pos]])%n!=mp[a[3][pos]]&&(mp[a[1][pos]]+mp[a[2][pos]]+1)%n!=mp[a[3][pos]]){
//前三个条件表示该位三个数是否都填过了，后两个表示num3的值是否合法
return 0;
}
return 1;
}
inline void dfs(int x,int y,int jw){
//现在填第x行，第y列，上一位进位是jw
if(y==0&&x==1&&jw==0){
//找到答案
for(char i='A';i<='A'+n-1;i++){
printf("%lld ",mp[i]);
}
exit(0);
}
if(mp[a[x][y]]!=-1){//当前位置的字母已经有数了
if(x==3){
if((mp[a[1][y]]+mp[a[2][y]]+jw)%n!=mp[a[3][y]]){
//当前位置的数非法
return ;
}
else{
//当前这一位填完了，我们去填它上一位的第一个数
dfs(1,y-1,(mp[a[1][y]]+mp[a[2][y]]+jw)/n);
}
}
else{
//说明当前这一位没填完，接着填
dfs(x+1,y,jw);
}
}
else{//给当前字母填数
for(int i=1;i<y;i++){
if(!chk(i)){//高位非法
return ;
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(!cp[i]){
cp[i]=1;mp[a[x][y]]=i;
if(x==3){
if((mp[a[1][y]]+mp[a[2][y]]+jw)%n!=mp[a[3][y]]){
//填不进去就换个数填
cp[i]=0;mp[a[x][y]]=-1;
continue;
}
else{//同上
dfs(1,y-1,(mp[a[1][y]]+mp[a[2][y]]+jw)/n);
}
}
else{//同上
dfs(x+1,y,jw);
}
//记得回溯
cp[i]=0;mp[a[x][y]]=-1;
}
}
}
}
signed main(){
n=read();
for(char i='A';i<='Z';i++){
mp[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=3;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[j][i];
}
}
dfs(1,n,0);
//7123532712353231271571235327123532312715712353271235323127157123532623636236
//212123532121232152121235323212221212353232163212132121532121
//12316561767767312176565656565253123165617677673121765633563356
//123656565236565653216112161343212365656523656565321632161163216321611
//无奖竞赛上面四行是什么
return 0;
}
可以去看一看这位dalao的题解qwq
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