VPor做题记录4

The 1st Universal Cup. Stage 20: India

• C题

  你有 \(n\) 个区间，你需要选择一些区间，选择的区间不能相交。

  你还有 \(m\) 个要求，每个要求形如：

  • 第 \(a\) 个区间和第 \(b\) 个区间必须要选一个。

  回答是否有可以满足上面要求的区间的选法。

  数据范围：\(n,m\le 10^5\) 。

  首先可以暴力 2-sat ，现在考虑优化这个过程。

  可以考虑线段树优化建图，但建图方法需要学习一下：

  • 对于两个区间，相交 等价于 一个区间的左端点在另一个区间内（换成右端点也是可以的）

  • 我们按 \(l_i\) 从小到大排序，然后把 \(l_j\) 在 \([l_i,r_i]\) 之间的 \(j\) 和 \(i\) 加上双向的 2-sat 互斥边。

    具体来说，在线段树 \(T_1\) 中的区间 \([l,r]\) 含义就是若 \(l\sim r\) 中的任意一个变量为真，线段树 \(T_2\) 表示的就是 \(l\sim r\) 的变量都得为假。

• D题

  给定 \(n\) 个字符串 \(S_i\)，你有一个字符串 \(A\) ，初始为空。你有两个操作：

  • 在 \(A\) 后面插入字符串 \(S_i\) 。
  • 删掉 \(A\) 最后 \(k\) 个字符。

  求出你需要让它变成字符串 \(B\) 的最小操作数。

  多测，数据范围：\(N\le 10^6,k\le 5000,\sum |S_i|\le 10^6,\sum |T|=5000\) 。

  每次肯定是加入一个串的前缀，那么我们就可以把 \(S_i\) 建成一个trie树，然后计算删去 \(t\) 的长度最小要多少的代价，这就是一个同余最短路。

  由于 \(\sum k\) 的范围没有给定，所以你需要实现 \(O(k\sqrt{\sum|S|})\) 的复杂度，就是对每个 \(S\) 的长度来跑最短路。

• G题

  考虑一个大小为 \(c\) 的字符集，其中有 \(c^{2n}\) 个长度为 \(2n\) 的字符串。如果该字符串标号 \(\{1, 2, .., 2n\}\) 可以划分为 \(n\) 对，则称该字符串为完美字符串，具体来说：

  • 每个标号属于且唯一属于一对。
  • 对于每对 \((i,j)\) ，\(S[i]=S[j]\) 。
  • 任意两对 \((i,j),(k,l)\)，不能满足 \(i<k<j<l\) 。

  求完美串的数量。

  数据范围：\(n,c\le 10^7\) 。

  这些 pair 应当形成一个类似括号匹配的结构，但同一个串会有多个可能的匹配，所以直接算匹配会算重。

  我们考虑一个贪心匹配的过程：维护一个栈，枚举每个字符，如果它恰好等于栈顶则弹出栈顶，否则压入栈。如果最后栈为空则是完美的。

  下面考虑计数。

  • 组合做法

    考虑从 \((0,0)\to (n,n)\) 有多少方案。

    • 当位于 \((x,x)\) 时，有 \(c\) 种方法向右走。
    • 其他情况，有 \(c-1\) 方法向右走，\(1\) 种方法向上走。

    所以答案就是 \(\sum_{i=0}^n f_i\cdot c^{i}c^{n-i}\) ，其中 \(f_i\) 表示 \((0,0)\to (n,n)\) 中穿过 \(y=x\) 有 \(i\) 次的方案数。

    穿过 \(y=x\) 就是碰到 \(y=x+1\) ，对称后求的就是至少穿过一次的方案，然后再对称求出至少穿过两次的方案，以此类推求出每个 \(f_i\) 。

  • 生成函数做法

    记长度为 \(n\) 的完美串数量是 \(f_n\) ，好串定义为满足第一个字符匹配的是最后一个字符的完美串，数量记为 \(g_n\) 。所以有下面的关系：

    • 一个完美串可以唯一写成若干个好串的连接，所以有 \(F=1+G+G^2+...=\frac{1}{1-G}\) 。
    • 好串去掉第一个和最后一个字符也是一个完美串，但还要求其中的每个好串的第一个字符和原串的第一个字符不同，所以有 \(G=cx(1+\frac{c-1}{c}G+(\frac{c-1}{c}G)^2+...)=\frac{cx}{1-\frac{c-1}{c}G}\) 。

    解出 \(F=\frac{(2-c)+c\sqrt{1-4(c-1)x}}{2-2c^2x}\) 。

• H题

  给定一棵树，对于 除了根节点之外的 每个点可以给其祖先之一的权值 \(+1\) ，定义关键点为权值严格最大的那一个点(可能没有)，问哪些点可以称为关键点。

  数据范围：\(n\le 10^6\) 。

  首先考虑如何判断一个点 \(x\) 是否合法，那么其子树节点的权值都给 \(x\) ，那么就删掉 \(x\) 的子树，然后对其他节点权值的最大值就是 \(si_x-2\) ，然后就从叶子向根递推判断。

  然后要注意到，如果我们直接对整棵树二分出 \(mid\) ，使 \(mid\) 是最大的合法的 在不删节点情况下 每个节点权值的最大值，那么对于 \(si_x-2\ge mid\) ，一定可以是关键点，对于 \(si_x-3<mid\) ，一定不能是关键点。

  对于 \(si_x-3=mid\)，那么由于在不删除 \(x\) 的子树下， \(x\) 向 \(x\) 的祖先有 \(1\) 的权值贡献，那么我们就判断一下去掉这点贡献是否可以让树变得合法，这是简单的。

• I题

  平面上给定 \(n\) 个不相交的圆，你需要加 \(n-1\) 条直线，满足：

  • 直线端点是整数
  • 线最多和两个圆有公共点
  • 任意两条直线不能有除端点处的公共点

  数据范围：\(n\le 2\times 10^5\) 。

  这其实是逆天扫描线题，关键点在于题目保证了圆不相交，那么随着 \(x\) 增大，按 \(y\) 坐标排序的圆的相对顺序不会改变，那么就可以在一个新圆加入的时候把它和上面的圆连接。

• M题

  给定一个完全图，你要给每个边染色 \(1\sim m\) 的一种，满足：

  • 对于任意一个同种颜色的边和 \(n\) 的点分别形成的子图，图的直径要小于等于 \(4\) 。

  其实只要注意到一个联通的子图边至少得 \(n-1\) 条，而完全图的边最多 \(\frac{1}{2}n(n-1)\) ，所以 \(m\) 最大为 \(\frac{n}{2}\) ，并且由于边只能用 \(n-1\) 条构成树，所以限制还挺强的，在这种性质下找一找还是能找到构造方法的。

2022-2023 ICPC Asia Pacific - Yokohama Regional

• F题

  给定 \(n\) 个半径为 \(r_i\) 四分之一圆，问能否平滑的拼接起来，最终形成一个首位相接的环。

  数据范围：\(r_i\le 10^4,n\le 100\) 。

  首先四分之一圆会分成四组，分别为 \((+,+),(+,-),(-,+),(-,-)\) ，首先是正负和要为 \(0\)，因为还要满足光滑连接的条件，所以四组的个数要满足一些条件。

  画画图会发现，只要 \(n\) 为偶数，然后四组的个数的奇偶性相同就可以了（官方题解也没证明，感觉赛时碰到还是要果断一点）

• D题

  在二维平面上有 \(m\) 个棋子，你可以移动一个棋子，问是否可以在移动后通过旋转和平移得到目标状态。

  数据范围：\(n\le 500\) 。

  • 做法一：

    在起始状态和目标状态删除一个点，然后判断两个棋盘是否等价，这个可以用哈希实现。

    注意不能暴力求哈希，需要一定的优化做到 \(O(n^2)\) 。

  • 做法二：

    我们考虑按最上最左来考虑的第一个棋子，如果他没有移动，那么他在移动后就会是目标状态中的第 \(1/2\) 个，而如果移动了，那么第 \(2\) 个棋子在移动后就会是目标状态中的第 \(1/2\) 个，所以我们可以只考虑这 \(4\) 种对应情况，然后暴力 \(O(n^2)\) 判断一次就可以了。

The 2022 ICPC Moscow Regional Contest

• C题

  你有长度 \(1,2,3,...,n\) 的木棍各一个，现在你需要把这些木棒组成最多的钝角三角形（得是合法的钝角三角形），给出构造方法。

  数据范围：\(n\le 10^6\) 。

  首先有结论，构造的钝角三角形的数量是 \(\lfloor\frac{n-1}{3}\rfloor\) ，考虑如何构造。

  通过敏锐的观察，你可以发现：

  我们把序列分成四块，对于后三块我们可以分出： \(x=k+x,y=2k+x,z=3k+x\)

  可以发现 \(x+y=3k+2x>z\)

  而且 \(z^2=9k^2+6kx+x^2,x^2+y^2=5k^2+6kx+2x^2\)

  那么 \(z^2-(x^2+y^2)<0\to x^2<4k^2\to x<2k\) 。

  所以，如果 \(k=\lfloor \frac{n}{4}\rfloor,x=n-3k<2k\to 5\lfloor \frac{n}{4}\rfloor>n\)

  极限情况 \(n=4t+3\to n>15\)，其实由于 \(n=3t+1\) ，实际极限情况是 \(n>12\) 。

  所以我们可以手动构造 \(n<12\) 的情况，此时有一个简单方法，令 \(x=\lfloor \frac{n-1}{3}\rfloor\) ，我们可以构造出\((x-i+2,n-2i+2,n-n-2i+1)\) 。