P8742 [蓝桥杯 2021 省 AB] 砝码称重 题解

题目分析

原题链接 P8742 [蓝桥杯 2021 省 AB] 砝码称重

由这道题，我们不难联想到 P2347 砝码称重，两题的做法是相似的。因此这道题做法就是背包。

其本质上都是选取砝码，求能表示的重量的个数。

而这道题特别的地方在于多了个天平，因此左右两盘就意味着砝码可以“相减”，状态转移的时候需要注意。

由于本体是可行性问题，因此我们设 \(dp_{i,j}\) 为选取前 i 个砝码是否可以称量出 j 的重量。\(dp_{i,j} =1\) 表示能，\(dp_{i,j} =0\) 表示不能。

接下来考虑转移：

若 \(dp_{i-1,j}=1\)，那么：

• \(dp_{i,j}\) 是可行的，因为可以不选第 i 个砝码；

• \(dp_{i,j+a_i}\) 也是可行的，显然；

当涉及到 \(dp_{i,j-a_i}\) 的转移时， \(j-a_i\) 有可能为负值，但并不影响转移。因为天平左右盘可以互换，所以本质上等价于 \(a_i-j\) 。

例如：样例中状态至 \(dp_{3,2}\) 时，可以由状态 \(dp_{2,4}\) 转移而来，即左盘放重量为 4 的砝码，右盘放重量为 6 的砝码。

• \(dp_{i,|j-a_i|}\) 也是可行的

AC Code

#include<stdio.h>
using namespace std;
const int N=105,M=1e5+5;
int ans,n,dp[N][M];
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
int main(){
	n=read();
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int a=read();
		for(int j=0;j<=100000;j++){
			dp[i][j]|=dp[i-1][j];
			dp[i][j+a]|=dp[i-1][j];
			dp[i][abs(j-a)]|=dp[i-1][j]; 
		}
	}
	for(int i=1;i<=100000;i++) if(dp[n][i]) ans++;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}