P3601 签到题

// 容易注意到 qiandao(i) = i - phi(i)
// phi 是欧拉函数

// 让我们想起最开始求欧拉函数的做法
// 分解质因数, 然后使用 phi(x) = x * 求积_{p in {x 的所有质因数}} (1 - 1 / p)
// 这样的时间复杂度显然过大

// 我们何妨不反着思考
// 既然找到 l <= x <= r 的所有质因子不行, 不如考虑一个质因子是哪些 l <= x <= r 的质因子

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
template <typename T>
using vec = vector<T>;

#define int long long

const int N = 1e6 + 10;
vec<int> primes;
bool not_prime[N];

// 线性筛模板
void get_primes(int n) {
  for (int i = 2; i <= n; i ++) {
    if (!not_prime[i]) {
      primes.push_back(i);
    }
    for (int j : primes) {
      if (i * j > n) break;
      not_prime[i * j] = true;
      if (i % j == 0) {
        break;
      }
    }
  }
}

const int mod = 666623333;

int l, r;

vec<int> _pfactors[N];

// 方便写代码的映射
// pfactors(i) 为 i 的质因子们
#define pfactors(i) _pfactors[(i) - l]

signed main() {
  get_primes(N - 5);
  cin >> l >> r;


  // 我们可以遍历所有质数 p < sqrt r
  // 这里直接遍历所有 p < sqrt(r 的最大值) 了, 没差

  // 为什么是 p < sqrt(r)?
  // 对于一个数 x, 它的质因子中最多只会有一个大于 sqrt x
  // 这个质因子可以由 x 除以所有其他质因子得到
  // 可以想想分解质因数模板中为什么只用遍历到 sqrt x, 一个道理
  for (int p : primes) {
    // i 为 p 的 >= l 且 <= r 的倍数, 思想类似埃氏筛
    for (int i = ((l - 1) / p + 1) * p; i <= r; i += p) {
      pfactors(i).push_back(p);
    }
  }

  int ans = 0;
  for (int i = l; i <= r; i ++) {
    // 下面一段就是分解质因数, 只不过原本是遍历所有 <= sqrt x
    // 这里直接用提前求出来的 pfactors
    int phi = i, x = i;
    for (int p : pfactors(i)) {
      phi = phi / p * (p - 1);
      while (x % p == 0) x /= p;
    }
    // 唯一一个大于 > sqrt(x) 的因子, 和分解质因数模板一样
    if (x != 1) phi = phi / x * (x - 1);
    ans = (ans + i - phi) % mod;
  }

  cout << ans;

  return 0;
}