有依赖的背包

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P1064 [NOIP 2006 提高组] 金明的预算方案

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 \(n\) 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 \(0\) 个、\(1\) 个或 \(2\) 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 \(n\) 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 \(5\) 等：用整数 \(1 \sim 5\) 表示，第 \(5\) 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 \(10\) 元的整数倍）。他希望在不超过 \(n\) 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 \(j\) 件物品的价格为 \(v_j\)，重要度为 \(w_j\)，共选中了 \(k\) 件物品，编号依次为 \(j_1,j_2,\dots,j_k\)，则所求的总和为：

\[v_{j_1} \times w_{j_1}+v_{j_2} \times w_{j_2}+ \dots +v_{j_k} \times w_{j_k} \]

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 \(n\) 和希望购买的物品个数 \(m\)。

第 \(2\) 到第 \((m + 1)\) 行，每行三个整数，第 \((i + 1)\) 行的整数 \(v_i\)，\(p_i\)，\(q_i\) 分别表示第 \(i\) 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 \(q_i=0\)，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出 #1

2200

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 \(1 \leq n \leq 3.2 \times 10^4\)，\(1 \leq m \leq 60\)，\(0 \leq v_i \leq 10^4\)，\(1 \leq p_i \leq 5\)，\(0 \leq q_i \leq m\)，答案不超过 \(2 \times 10^5\)。

NOIP 2006 提高组 第二题

思路：

这道题通过题意发现，附件需要在主件购买后才能购买，并且发现主件的附件最多两个，所以构建结构体，变量f1，f2代表两个附件的索引

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e2+10;
typedef long long ll;
struct node
{
    int v,w,q;
    int f1=-1,f2=-1; #初始化第一个附件和第二个附件的索引
}a[N];
int n,m,ans;
int dp[N][35005];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i].v>>a[i].w>>a[i].q;
        if(a[i].q!=0)#判断是否是附件
        {
            if(a[a[i].q].f1>0)
            {
                a[a[i].q].f2 = i;
            }
            else a[a[i].q].f1 = i;
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++) #背包模板
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            if(a[i].q>0)dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else
            {
                int t = dp[i-1][j];
                int f1 = a[i].f1;
                int f2 = a[i].f2;
                if(j>=a[i].v)t=max(t,dp[i-1][j-a[i].v]+a[i].v*a[i].w);
                if(f1>0&&j>=a[i].v+a[f1].v)t = max(t,dp[i-1][j-a[i].v-a[f1].v]+a[i].w*a[i].v+a[f1].v*a[f1].w);
                if(f2>0&&j>=a[i].v+a[f2].v)t = max(t,dp[i-1][j-a[i].v-a[f2].v]+a[i].v*a[i].w+a[f2].w*a[f2].v);
                if(f1>0&&f2>0&&j>=a[i].v+a[f1].v+a[f2].v)t = max(t,dp[i-1][j-a[i].v-a[f1].v-a[f2].v]+a[i].w*a[i].v+a[f1].v*a[f1].w+a[f2].v*a[f2].w);
                dp[i][j]=t;
            }
        }
    }
    cout<<dp[m][n]<<endl;
    return 0;
}

空间优化题解

主要就是将01背包二维dp数组模板换成以一维数组的模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e2+10;
typedef long long ll;
struct node
{
    int v,w,q;
    int f1=-1,f2=-1;
}a[N];
int n,m,ans;
int dp[35005];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i].v>>a[i].w>>a[i].q;
        if(a[i].q!=0)
        {
            if(a[a[i].q].f1>0)
            {
                a[a[i].q].f2 = i;
            }
            else a[a[i].q].f1 = i;
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=n;j>=1;j--)
        {
            if(a[i].q>0)continue;
            else
            {
                int t = dp[j];
                int f1 = a[i].f1;
                int f2 = a[i].f2;
                if(j>=a[i].v)t=max(t,dp[j-a[i].v]+a[i].v*a[i].w);
                if(f1>0&&j>=a[i].v+a[f1].v)t = max(t,dp[j-a[i].v-a[f1].v]+a[i].w*a[i].v+a[f1].v*a[f1].w);
                if(f2>0&&j>=a[i].v+a[f2].v)t = max(t,dp[j-a[i].v-a[f2].v]+a[i].v*a[i].w+a[f2].w*a[f2].v);
                if(f1>0&&f2>0&&j>=a[i].v+a[f1].v+a[f2].v)t = max(t,dp[j-a[i].v-a[f1].v-a[f2].v]+a[i].w*a[i].v+a[f1].v*a[f1].w+a[f2].v*a[f2].w);
                dp[j]=t;
            }
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}