完全背包（1）

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P1853 投资的最大效益

题目背景

约翰先生获得了一大笔遗产，他暂时还用不上这一笔钱，他决定进行投资以获得更大的效益。银行工作人员向他提供了多种债券，每一种债券都能在固定的投资后，提供稳定的年利息。当然，每一种债券的投资额是不同的，一般来说，投资越大，收益也越大，而且，每一年还可以根据资金总额的增加，更换收益更大的债券。

题目描述

例如：有如下两种不同的债券：

1. 投资额 \(4000\)，年利息 \(400\)；
2. 投资额 \(3000\)，年利息 \(250\)。

初始时，有 \(10000\) 的总资产，可以投资两份债券 1 债券，一年获得 \(800\) 的利息；而投资一份债券 1 和两份债券 2，一年可获得 \(900\) 的利息，两年后，可获得 \(1800\) 的利息；而所有的资产达到 \(11800\)，然后将卖掉一份债券 2，换购债券 1，年利息可达到 \(1050\)；第三年后，总资产达到 \(12850\)，可以购买三份债券 1，年利息可达到 \(1200\)，第四年后，总资产可达到 \(14050\)。

现给定若干种债券、最初的总资产，帮助约翰先生计算，经过 \(n\) 年的投资，总资产的最大值。

输入格式

第一行为三个正整数 \(s, n, d\)，分别表示最初的总资产、年数和债券的种类。

接下来 \(d\) 行，每行表示一种债券，两个正整数 \(a, b\) 分别表示债券的投资额和年利息。

输出格式

仅一个整数，表示 \(n\) 年后的最大总资产。

输入输出样例 #1

输入 #1

10000 4 2
4000 400
3000 250

输出 #1

14050

说明/提示

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le s \le {10}^6\)，\(2 \le n \le 40\)，\(1 \le d \le 10\)，\(1 \le a \le {10}^4\)，且 \(a\) 是 \(1000\) 的倍数，\(b\) 不超过 \(a\) 的 \(10\%\)。

思路

这道题主要要注意空间优化的问题，不然会MLE，题目中解释了a是1000的整数倍，所以我们可以从这个角度入手，优化空间，将ai都÷1000，这个题目由于加入年份的维度，所以多加一层循环，更新ans，来进行每一年的收益最大化，这时候就是套上完全背包的模板，

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
typedef long long ll;

int s,n,d;
int a[20],b[20];
int dp[N];
int ans;
int main()
{
    cin>>s>>n>>d;
    for(int i=0;i<d;i++)
    {
        cin>>a[i]>>b[i];
        a[i]/=1000;
    }
    ans = s;
    for(int y=0;y<n;y++)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));#记得每一层要初始化一遍数组
        for(int i=0;i<d;i++)
        {
            for(int j=a[i];j<=(ans/1000);j++)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);
            }
        }
        ans+=dp[ans/1000];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}