xiao di 2010 综述Berry phase effects on electronic properties I~III部分的公式推导
xiao di 2010 综述Berry phase effects on electronic properties ：https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.82.1959
重要提醒：
很多书和论文直接抄xiaodi综述中反常速度(3.6）式，但此式中的负号错误，应改为正号。希望后人不要再直接抄(3.6)式！
公式推导见:
链接：https://pan.baidu.com/s/1lzzNK1qLwnO_s3KBHMPquA
提取码：489c
简要总结：
I部分:介绍贝里相位
Ⅱ部分：绝热输运和电极化：
我还重复了zak相位的原始论文，这篇论文的最终结论就是：
在具有空间反演对称的一维晶体中，哈密顿量中加一个微扰\(A(t)\)，对于\(k(t)\)从\(-\frac{\pi}{a}\)到\(\frac{\pi}{a}\)的这样一个变化，存在一个相位叫贝里相位，且贝里相位只能为0或\(\pi\). 起初，贝里相位的原始论文要求系统又一个时间周期性的哈密顿量：
（即回到原来参数点）。此zak的论文中的哈密顿量不满足此条件。但，对于\(k(t)\)从\(-\frac{\pi}{a}\)到\(\frac{\pi}{a}\)的这样一个变化，依然可以证明，可以认为是参数空间有一个循环(但哈密顿量不满足），故论文中(6)式是"哈密顿量不满足时间周期性的系统"中的一个"推广了的贝里相位"！
ⅡA部分：绝热流
在一维能带绝缘体的哈密顿量中给一个小的随时间缓慢变化的微扰，而且此微扰有时间周期性。此时经过计算知，此微扰会导致一个绝热流：
ⅡB部分：量子化绝热粒子输运
利用ⅡA的结果可以得到:粒子输运：
计算知，(2.7)的\(c_n\)一定是量子化的，此整数称为第一陈数。且只要哈密顿量在参数空间中的每个参数上都是周期的，陈数的量子化都是存在的。
但因为0也是整数，所以输运粒子数\(c_n\)可能是0也可能非0. 可以证明，具有非零输运的条件是：随着参数的变化，轮胎面内的某处简并点会存在。(the criterion for cn to be nonzero is that a degeneracy point must occur somewhere inside the torus as one varies q, R1, and R2.)
接着介绍了在存在多体相互作用和无序时，粒子输运依然是量子化的(即陈数依然是量子化的)，此结论的成立有两个前提条件：
1）系统存在有限的能隙
2）系统基态是非简并的
拓扑不变量的含义：一般来说，对哈密顿量的小的微扰会导致物理量的小的改变。但是，Chern数必须是一个整数的事实意味着它只能以不连续的方式改变，并且在微扰很小时根本不会改变。
接着介绍了绝热泵浦：上面这种绝热输运的现象也被称为绝热泵浦
绝热输运的量子化现象可以作为电荷泵。实验上在量子点等系统中已经观察到了电荷泵浦和自旋泵浦的现象。在介观系统中，很多是开系统，此时散射矩阵是中心量而非波函数是中心量；在这种系统中的绝热输运理论和之前的不同，在这种系统中也发展了和贝里相位相关的电荷泵的理论。
ⅡC部分：晶态固体的电极化
长期以来，电极化的微观物理一直是一个困扰很多科学家的问题。直到90年代电极化的现代理论建立。只有电极化的改变具有物理意义，其可以利用电子波函数的贝瑞相位进行量化。
在Physics of Ferroelectrics: A Modern Perspective (Topics in Applied Physics)这本书中，开创者写了电极化现代理论的综述。
电极化可以视为“未量子化的”绝热粒子输运
基于(2.28)，用万尼尔电荷中心的偶极矩定义每个晶胞中的电极化：
（2.30）是将一个能带绝缘体映射为a periodic array of localized distributions with truly quantized charges. This resembles像 an ideal ionic crystal where the polarization can be understood in the classical picture of localized charges.
以上定义的电极化是一个bulk量。
该领域的最新发展可分为两类。在计算方面，计算有限电场中的电极化已经得到了解决，这对扩展系统Nunes和范德比尔特的密度泛函理论有很大的影响；努内斯和Gonze，2001；Souza等人，2002。在理论方面，Resta1998提出了一种用于扩展系统的量子力学位置算子。结果表明，这种算子的期望值可以用来表征金属和绝缘态Resta和Sorella之间的相变，1999；Souza等人，2000，与电子局部化现象Kohn，1964密切相关。
III.电场中的电子动力学
IIIA：反常速度
在一个小的电场作为微扰的作用下，在t时刻，(n,k)电子的速度：
（3.6）的第二项称为反常速度。
然而，经过我的反复多次计算以及查找文献，发现这里(3.6)是错误，正确公式为：
where \(\boldsymbol{\Omega}_{n}(\boldsymbol{k})\) is the Berry curvature of the \(n\)th band:
中间应该是加号！
在niu qian原始论文：Phys. Rev. B 59, 14915 (1999)Wave-packet dynamics in slowly perturbed crystals: Gradient corrections and
Berry-phase effects (aps.org)中、晶体中电子同时处在电场和磁场作用下运动的反常速度 (wanfangdata.com.cn)中的结果都和(3.6.1)一致。
所以可以确定，是xiaodi综述(3.6)错误，而付亮2015年非线性霍尔的论文[I. Sodemann and L. Fu. Quantum nonlinear Hall effect induced by
Berry curvature dipole in time-reversal invariant materials. Phys. Rev. Lett.
115, 216806 (2015)]由于直接参考的xiaodi综述，所以其中的(2)也是错误的(注意其中(3)式定义的贝里曲率与我们的差个负号)，沈顺清的拓扑绝缘体书中(4.48)中的减号也是错误的。
从(3.5)和(3.6.1)知，贝利曲率是参数空间磁场。
IIIB：贝里曲率：对称性考虑
传统的公式(3.1)[不含反常速度项]在过去在描述各种电子特性方面取得了很大的成功。因此，重要的是要知道在什么条件下贝里曲率项是不可忽视的。
若系统有时间反演对称性，则：
若系统有空间反演对称性，则：
若系统同时有时间和空间反演对称性，则系统的贝里曲率恒为零。
在铁磁或反铁磁序的存在下，晶体会打破时间反转对称性。
IIIC、D、E：量子霍尔效应、量子反常霍尔效应、谷霍尔效应
略.其中（3.10）的证明可以见沈顺清书4.3节和其附录A、bernevig拓扑绝缘体书第三章、https://www.zhihu.com/question/381097729/answer/1164745113
沈顺清书4.3节:
省略三页，
总结：
此4.3节就是考虑二维能带绝缘体，零温,不考虑电子相互作用和无序，加一个小的微扰电场\(\mathbf{E}=(E_x,E_y)\)，电子速度公式中就会出现一个反常速度项，若体系具有时间反演对称性，则算出来的霍尔电导为0。
[注意这并不是加磁场。加磁场会破坏时间反演对称性]
沈书这里没说清楚。若体系具有时间反演对称性，可以根据以下(4.50)-(4.54)证明过程中利用时间反演对称性证明了
从而速度公式中第一项对电流的贡献为0。但因为体系具有时间反演对称性，根据xiaodi综述(3.8）知，
，故根据沈书(4.52)知，霍尔电导为0. 就没有(4.54)这个公式了。
这就是付亮2015非线性霍尔论文中第一句话说的"The Hall conductivity of an electron
system whose Hamiltonian is invariant under time-reversal symmetry is forced to vanish"(但此句话更严格的证明是用昂萨格倒易关系来证明；上面的证明不太好，因为上面证明中用了假设f(k)=1，而黄昆书297页是分布函数按电场幂级数展开来算）.
若体系没有时间反演对称性，而是且存在空间反演对称性，则也有(原因见李正中书14页和为知"时间反演对称性")，从而速度公式中第一项对电流的贡献也为0。但时间反演对称性的破坏是加磁场等吗？会导致（4.52）等公式会发生变化吗？磁场影响能带等？？？应该学xiaodi综述后面部分才知道。以后再说
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