最小生成树Prim算法

求最小生成树算法——Prim

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例题：

https://www.luogu.org/problem/P3366

算法：

时间复杂度 : $O(n^2)$

• 算法主体思想:

$\text{Prim}$ 算法主要是用到贪心的思想，假设我们有两个集合 $A$ 和 $B$，$A$ 集合表示最小生成树集合(及 $A$ 集合中的点都在最小生成树中)，$B$ 集合表示非最小生成树集合(及 $B$ 集合中的点都不在最小生成树中)。一开始，我们可以随便将一个点放入集合 $A$，然后我们选择到最小生成树中距离最小的点放入 $A$ 集合(前提是最小 $\&$$\&$ 当前点在 $B$ 集合)，然后用当前点更新其他在 $B$ 集合中的点到 $A$ 集合的距离。以此类推，循环 $n$ 次之后(一共有 $n$ 个点，所以 $n$ 次之后，$B$ 集合为空，所有点都在 $A$ 集合)，就可得到最小生成树。

• 算法主要变量声明:

我们可以记录每个点到最小生成树集合中的最小距离，记为$dis_i$ —— 第 $i$ 个点到最小生成树集合中的最小距离(注意:是到最小生成树集合的最短距离，不是到起点)。然后我们还需知道一个点是否在最小生成树集合中，于是我们用 $vis_i$ 表示 $i$ 是否在最小生成树集合中(在 $A$ 集合，还是在 $B$ 集合)。当然我们可以用 $f_{i,j}$ 来记录第 $i$ 个点到第 $j$ 个点的距离。

• 算法主要步骤:

1. 初始化所有点都在 $B$ 集合中，所有点到 $A$ 集合中的距离都为$0$；

2. 随机选择一个点(选 $1$ 即可)，并将当前点到最小生成树的距离为 $0$；

3. 重复 $n$ 次以下步骤(及把所有点都放到A集合)

1. 定义变量 $minn$ 表示每次搜到的到最小生成树集合的最小距离(初始化为 $INF$)，$k$ 表示搜到的最小值的编号
2. 搜索 $B$ 集合中到 $A$ 集合的最小值
3. 标记搜到的点在 $A$ 集合
4. $ans$ 来累加当前点到最小生成树集合的距离
5. 通过当前搜到的点 $k$，来更新其他点到最小生成树集合的最短距离

4. 得到最小生成树，边权之和在 $ans$ 里

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示意图：

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code：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f//定义最大值(0x3f3f3f3f是一个很大的数) 
using namespace std;
int n, m, dis[1001], vis[1001], f[1001][1001], ans;//dis[i]表示第i个点到最小生成树集合的最小值(及到最小生成树中任意点的最小值), vis[i]表示第i个点是否在最小生成树中, f[i][j]表示从第i个点到达第j个点的最小值(无法到达就赋INF), ans记录最小生成树边权 
void prim(int s)
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int minn = INF;//用来记录每次搜到的离最小生成树集合的最小值 
        int k = 0;//用来记录搜到最小值的编号 
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
        {
            if(!vis[j] && dis[j] < minn)
            {
                minn = dis[j];
                k = j;
            }
        }
        if(!k)//没有点在最小生成树中了(这个也可以判断图是否连通，如果k没有值，就代表图没有连通，因为最小生成树中点的数量一定是n(生成树的定义就是用n - 1条边，使得n个点能互相到达)) 
        {
            break;
        }
        vis[k] = 1;
        ans += dis[k];
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
        {
            if(!vis[j] && dis[j] > f[k][j])//更新长度(这里是到最小生成树集合的最短长度，不是到s的最短长度) 
            {
                dis[j] = f[k][j];
            }
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    memset(f, INF, sizeof(f));
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i = 1, x, y, z; i <= m; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
        f[x][y] = f[y][x] = min(f[x][y], z)/*小心毒瘤数据*/;//连双向边 
    }
    prim(1);//从1开始就好了 
    printf("%d", ans);
    return 0;
}