第4章：减治法——《算法笔记

思考：减治提供了一种思考问题的方式

原问题与减一问题的关系

 

原问题划分成保持语义的子问题，可能规整划分，可能划分不定

我觉得减治与分治的共同点在于：1.问题的分解 2.子问题语义的保持（可以使用递归）

减治只需求解一个子问题，减法了无需求解的子问题

分治法需要归总子问题，并且归总的过程存在丰富的语义

 

总而言之，分为两个思路：

1.从减一问题转化为原问题。线性的数学归纳

2.去除不必要的子问题，减小规模

 

减去一个常量

减去一个常量因子

减去的规模可变

 

减去一个常量

规模为n的问题　　——>规模为n-1的问题

 

减去一个常量因子

规模为n的问题　　——>规模为n/2的问题

 

减去的规模可变

gcd（m,n）=gcd(n,m mod n)

 

1.插入排序，将未排序元素插入已排序序列。

前方有序，后方无序。

插入动作：二分法搜索位置。

已排序检查算法，大多数已排序序列排序

 

2.拓扑排序

无环有向图

1.深搜

2.减一治：源删除算法

在剩下的有向图中找源点（没有入边）

 

3.生成组合对象

n！　　(n-1)!

剩余一个插入在n-1排列中

满足最小变化要求

 

johnson trotter算法

 

字典序生成排列

 

生成子集

幂集：所有子集的集合

减一：从空集开始，选择加一个元素与否——>两个新子集

位串表示：每个位表示是否选中单个元素

挤压序：

位串之间最小变化：格雷码

 

4.减常数因子算法

 

折半查找

 

假币问题：折半查找，三折查找

 

俄式乘法：nxm=（n/2）x2m　　（n-1)/2 　x2m+m

位表示

 

5.减可变规模算法

每次迭代减小的规模都不同

 

第k小元素

第k个顺序统计量

中值

排序，选中值

 

基于划分的算法：

 

快速选择算法：遍历一次，选择位置k元素A[k],划分分成大于，小于两部分。解决了更一般的问题：根据k大元素，划分了数组

 

插值查找：假定数组分布为线性递增，线上照点

二分查找：数字分布不定 

 

二叉查找树的查找与插入

左<根<右

 

习题：

渡河问题：船容纳两个小孩或一个大人

 

交替问题：硬币前正后反——正反交替：相对位置数组：不要求下标从0开始

 

n元素集合幂集：是否包含最后一个元素

 

邻接矩阵检测连通性：寻找反例

 

两两比赛一次，保证每个队伍不输给排名在后面的队伍：插排（冒泡可以么？）

 

为什么同是基于比较，算法复杂度不一样？

 

排序算法作用于链表？算法复杂度？

是否要求随机访问

 

插排

 

i<j && A[i]>A[j] 一个倒置

倒置数量对排序性能的影响？

平均键值比较次数

 

希尔排序

 

dfs拓扑排序效率

如何避免逆序结果

顶点进入dfs栈的顺序取代退出栈的顺序

 

寻找源或判定环

使用源删除算法

邻接矩阵，邻接表

算法复杂度

 

强连通分量：

dfs，死端编号，颠倒边，

重复

 

蛛网问题：

不同路径数：排列组合

 

生成排列算法：heap

最后一个数与heap(n-1)交换一个元素

n奇数：A[1]

偶数：A[i]

 

基于位串的算法按照挤压序生成子集

 

生成位串算法

递归/非递归

基于二进制运算/数组

 

二进制反射格雷码的非递归算法

反转前一位串的最低非0位生成

 

n元素k分量子集

是否为最小变化算法

 

格雷码与汉诺塔

 

一个灯泡，n个开关。

所有开关打开——灯打开

需要尝试的次数

尝试所有排列

不同生成序列的位操作次数（数组操作次数）

 

链表二分查找

 

多维数据二分查找

不只是分多维查找？

图

 

只能使用两路查找的折半查找

两路查找？

 

三重查找

 

比例查找

每步最优，累计最优

 

连续整数查缺失整数

 

算法复杂度估计与n nlogn n^2比较

选择预处理

 

假币二分称重，三分

复杂度

 

约瑟夫斯问题

发现模式

n二进制位左循环移位得到结果

 

gcd两次迭代后，规模至少少2（常数因子）

衡量gcd算法规模

用m,n,m-n?

 

二叉查找树：

删除键

 

顶点连通度都为偶数，构造欧拉回路

存在性证明？

 

坏巧克力：1x1

沿直线掰

 

n张重叠薄饼，一次插入整体翻面

按大小次序排序