博弈基础

 

http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html

http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7854526

http://m.blog.csdn.net/howardemily/article/details/77844769 

P：必败点

N：必胜点

性质： 

 1、所有终结点是 必败点 P 。

 2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入 必败点 P。

 3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。

P->P,N

N->P

一、巴什博弈（Bash Game）

      只有一堆n个物品，两个人从轮流中取出（1~m）个；最后取光者胜。

      考虑到 若n=m+1 那么 第一个人不论如何取都不能取胜。

      进一步我们发现 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个

      n=（k-1）*（m+1）+s； 先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=m+1 的局面。

      因此，此时先手有必赢策略。

      相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。

      因此我们可以写出对应的程序（默认 n m都大于0）

int Bash_Game(int n,int m)//是否先手有必赢策略
{
    if (n%(m+1)!=0) return 1;
    return 0;
}

二、尼姆博弈(Nimm Game)

有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多（或者最多m个，只需把每堆%m）的物品，

规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 

把每堆数量求异或a1^a2^...^ai'^...^an，结果为零则先手必输，否则必赢

 

如果把n堆抽象为n个非负整数,再将n个整数转化为二进制,然后对n个二进制数按位相加(不进位),

若每一位相加都为偶数,那么称这个状态为偶状态,否则称它为奇状态

任何一个偶状态在其中任意一个数变小后一定成为奇状态,而一个奇状态一定可以通过改变一个数变成偶状态.

 

0是偶状态，则奇状态必胜。则奇状态是必胜态，偶状态是必败态。

每堆数量求异或相当于将n个整数的二进制不进位的相加，若为奇状态，结果某几位上有1，若为偶状态则为全0.

int Nimm_Game(int n)//假设n个数存在数组f[]中,有必胜策略返回1
{
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    flag^=f[i];
    if(flag) return 1;
    return 0;
}

 

三　威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

    这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示
两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们
称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，
10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

    可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有
如下三条性质：

    1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
    由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
    2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
    事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其
他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由
于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
    3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

    假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了
奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b  – bk个物体，即变为奇异局
势；如果 a = ak ，  b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局
势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余
的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）
,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – a
j 即可。

    从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜
；反之，则后拿者取胜。

    那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

    ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k  （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk组成的矩形近
似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[
j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1
+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异
局势。

         if(a>b)
         swap(a,b);
        double k=(sqrt(5.0)-1.0)/2.0;
        int j=a*k;
        if(a!=j*(int)(k+1))
            j++;
        if(a+j==b)
            cout<<0<<endl;//奇异局势，后手胜！
        else cout<<1<<endl;//非奇异局势，先手胜！