群论 - Burnside and Polya

前置知识 - 壹

• 群

对于一个集合 \(G\) 和一种运算 \(\times\)， 如果满足

封闭性，即 \(\forall\) $ a$ , \(b \in G\) , $ a \times b \in G$ 。
结合律，即 \(\forall\) \(a\) , \(b\) , \(c\in G\) , \(\left(a\times b\right)\times c= a\times\left(b\times c\right)\) 。
存在单位元， 即 \(\exists\) \(\boldsymbol e \in G\) , \(\forall\) \(a\in G, a\times \boldsymbol e = a\) 。
存在逆元， 即 \(\forall\) \(a\in G\) , \(\exists\) \(a^{-1}\in G\) , \(a\times a^{-1} = a^{-1} \times a = \boldsymbol e\) 。

则 \(\left(G, \times\right)\) 为一个群。

同时，群满足性质：

单位元唯一

证明 : 如果存在两个不等的单位元 \(\boldsymbol{e_1}\) , \(\boldsymbol{e_2}\) ， 则 \(\boldsymbol{e_1} \times \boldsymbol {e_2}\) = \(\boldsymbol{e_1}\) = \(\boldsymbol{e_2}\) ， 矛盾 。

逆元唯一

证明 ： 如果一个元素 \(a\) 存在两个不等逆元 \(b\) , \(c\) ，则 \(b = b \times \boldsymbol e = b \times \left(a\times c\right) = \left(b\times a\right)\times c = \boldsymbol e \times c = c\) ，矛盾。

逆元的逆元为本身

\(a \times a^{-1}\) = \(\boldsymbol e\) ， 则 \(a^{-1}\) 的逆元为 \(a\) 。

以下在不引起歧义的情况下省略 \(a\times b\) 为 \(ab\) 。

• 半群及陪集

若 \(H \subseteq G\) ， 则 群 \(\left(H, \times\right)\) 为 \(\left(G, \times\right)\) 的子群， 记作 \(H \le G\)。
对于子群 \(H\) 及元素 \(g \in G\) ， 将 \(\left\{ h g \mid h \in H \right\}\) 记作 \(Hg\) ， 叫做 \(H\) 在 \(G\) 关于 \(g\) 的右陪集 。
同理，将 \(\left\{ gh \mid h \in H \right\}\) 记作 \(gH\) ，叫做 \(H\) 在 \(G\) 关于 \(g\) 的左陪集 。

满足性质（左陪集同理）：

• \(\left | Hg \right |\) = \(\left | H \right |\)

\(Hg\) 的每一个元素都是由 \(H\) 中元素映射过来的，所以 \(\left | Hg \right |\) \(\le\) \(\left | H \right |\) 。
假设存在 \(h_1, h_2 \in H\) , $ h_1 \ne h_2$ , \(h_1g = h_2g\) ， 则 \(h_1g \times g^{-1} = h_2g \times g^{-1}\) ， 即 \(h_1=h_2\) ， 矛盾。
所以 \(Hg\) 与 \(H\) 是一一映射的。

• \(\forall\) \(g\in G\) , \(g\in Hg\)

\(H\) 为子群，存在单位元， 而 \(g = \boldsymbol e \times g\) 。

• \(Hg=H\) $\Leftrightarrow $ \(g\in H\)

充分性 : \(\boldsymbol e \in H\) , \(\boldsymbol e g = g \in H\) 。
必要性 : 由封闭性得 \(Hg \subseteq H\) , 又 \(\left | Hg\right | = \left | H \right |\) , 所以 \(Hg=H\) 。

• \(Ha=Hb\) $\Leftrightarrow $ \(ab^{-1} \in H\)

充分性 : \(Ha=Hb\) ，即 \(\exists\) \(h_1, h_2 \in H\) , \(h_1 a = h_2 b\) , 则 \(ab^{-1} = h_1^{-1}h_2 \in H\) 。
必要性 : \(Hab^{-1}=H\) ， 即 \(\forall\) \(h_1 \in H\) , \(\exist\) \(h_2 \in H\) , \(h_1ab^{-1}=h_2\) , 则 \(h_1a=h_2b\) ， \(Ha \subseteq Hb\) , \(\left | Ha \right | = \left | Hb \right |\), 即 \(Ha=Hb\)。

• \(Ha \cap Hb \ne \varnothing\) \(\Longrightarrow\) \(Ha = Hb\)

令 \(c \in Ha \cap Hb\) ，则 \(\exist\) \(h_1, h_2 \in H\) , \(h_1a=h_2b=c\) , 则 \(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2 \in H\) , 所以 \(Ha=Hb\) 。

拉格朗日定理

使用 \(\left[ G:H\right]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 不同的陪集个数。
则 \(\left|G\right|=\left|H\right| \cdot \left[ G:H\right]\) 。

证明综合上述性质，发现 \(H\) 的所有陪集刚好是 \(G\) 的一种划分， 相互之间无交且大小相等。

前置知识 - 贰

• 置换

设 \(A=\left\{a_1,a_2,a_3\cdots a_n\right\}\) , \(A\) 的任何双射函数 \(\sigma : A \rightarrow A\) 称为 \(A\) 上的 \(n\) 元置换， 记作 \(\begin{pmatrix} 1&2&3&4&\cdots &n \\ \sigma\left(1\right)&\sigma\left(2\right)&\sigma\left(3\right)&\sigma\left(4\right)&\cdots &\sigma\left(n\right) \end{pmatrix}\) ， 上方一列可任意交换顺序，如果按照自然数的顺序排列，记号可简化为 \(\begin{pmatrix}\sigma\left(1\right)&\sigma\left(2\right)&\sigma\left(3\right)&\sigma\left(4\right)&\cdots &\sigma\left(n\right)\end{pmatrix}\) 。
注意，映射是指的对应位置。
即 \(\begin{pmatrix} 3&2&4&1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2&1&4&3 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 2&3&1&4 \end{pmatrix}\) 。

• 置换群

\(A\) 是一个非空集合， \(G\) 为 \(A\) 到 \(A\) 的一些映射组成的集合。
若 \(\left(G, \circ\right)\) 是一个群，则称其为 \(A\) 上的一个变换群，简称变换群。
若 \(A\) 是一个非空有限集合，则变换群也称作置换群。

• 轮换、对换

轮换（也叫循环置换） 是这样的一个置换 ：
\(\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{k-1}&x_k \\ x_2&x_3&\dots&x_k&x_1 \end{pmatrix}\)
将每个置换看作有向图，每个点的入度出度均为 \(1\) ，所以每个置换都可以表示成若干个不相交轮换的复合。
二元轮换也叫对换。
置换同样可以拆成若干个对换的复合，可拆成对换个数的奇偶性叫做该置换的奇偶性。

• 轨道、稳定子、不动点

定义 \(A,B\) 是两个有限集合，\(X=B^A\) 表示所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，\(G\) 是作用在 \(A\) 上的一个群。
（ 可以认为 \(A\) 是环上元素集合， \(B\) 是颜色集合， \(X\) 是环染色的不考虑本质不同的所有方案）。

\(\forall\) \(x \in X\)
\(O_x = \left\{ g\left(x\right) \mid g \in G \right\}\) ， 称为 \(x\) 的轨道。
\(G^x = \left\{ g\left(x\right) = x \mid g \in G \right\}\) ， 称为 \(x\) 的稳定子。

\(X/G\) 表示作用在 \(X\) 上产生的所有等价类的集合（若 \(X\) 中的两个映射能经过 \(G\) 的作用后相等，则它们在同一等价类中）。

\(X/G\) 其实就是不同轨道的集合，这些轨道必定是不交的。因此我们也将 \(\left|X/G\right|\) 叫做 \(X\) 关于 \(G\) 的轨道数。

轨道 - 稳定子定理

\(\left|G\right| = \left|G^x\right| \cdot \left|O_x\right|\)

证明：
首先证明 \(G^x\) 是 \(G\) 的一个子群。

结合律显然。
\(\forall\) \(f,g\in G^x\) , \(f\circ g \left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(x\right) = x\) , 所以 \(f \circ g \in G^x\) ， 满足封闭性。
设 \(I\) 为恒等作用 ， \(I\left(x\right) = x\) ， 所以 \(I \in G^x\) ， 存在单位元。
\(\forall\) \(g \in G\) , $g^{-1}\left(x\right) = g^{-1}\left(g\left(x\right)\right) = g^{-1}\circ g \left(x\right) = I\left(x\right) = x $ ， 所以存在逆元。
综上， \(G^x\) 是 \(G\) 的一个子群。

根据拉格朗日定理，接下来要证明 :

\(\left|O_x\right| = \left[ G:G^x\right]\)

若 \(g\left(x\right) = f\left(x\right)\) , 则 \(f^{-1} \circ g\left(x\right) = f^{-1} \circ f\left(x\right) = I\left(x\right) = x\) ， 即 \(f^{-1} \circ g \in G^x\) ， 则 \(G^xf = G^xg\) 。
反过来亦成立。 则对于每一个 \(g\left(x\right) \in O_x\) ，都有且仅有一个陪集与之对应, 并对于每个陪集，最多只有一个 \(g\left(x\right)\) 与之对应。 即 \(O_x \rightarrow \left[ G:G^x\right]\) 是单射。
类似的， $ \left[ G:G^x\right] \rightarrow O_x$ 也是单射。
所以本定理成立。

Burnside 引理

\[\left|X/G\right| = \frac{1}{\left|G\right|} \sum_{g\in G} \left| X^g\right| \]

即轨道个数等于所有作用的不动点个数的平均数。
证明 ：

\[\begin{align*} \left|X/G\right|&=\sum_{x\in X} \frac{1}{\left|O_x\right|} \text{每种方案贡献 所在轨道大小 分之一} \\ &= \sum_{x\in X} \frac{\left|G^x\right|}{\left|G\right|} \text{轨道 - 稳定子定理} \\ &= \frac{1}{\left|G\right|}\sum_{x\in X} \left|G^x\right| \\ &= \frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G} \left|X^g\right| \end{align*} \]

发现即使给 \(A\rightarrow B\) 附加一些条件，本引理依旧成立。
因为证明没有用到 \(X=B^A\) 。

Polya 定理

\[\left|X/G\right| = \frac{1}{\left|G\right|} \sum_{g\in G}\left|B\right|^{c\left(g\right)} \\ c\left(g\right) \text{表示置换} g \text{可以拆成不相交轮换的个数} \]

\(\text{Burnside}\) 引理的特殊情况。
如果 \(g\left(x\right)=x\) ， 当且仅当每个轮换内部颜色一致，所以 \(\left|X^g\right|\) 等于给每个轮换染色的方案数。
在 \(X=B^A\) 时， 这个值等于 \(\left|B\right|^{c\left(g\right)}\) 。

只有在 \(A\rightarrow B\) 无任何限制条件的时候，本定理成立。

致谢：

Burnside 和 Polya 入门

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Burnside 引理和 Polya 定理