【HNOI2008】玩具装箱

题面

  n≤5∗104,0≤L，Ci≤107

解法

  我们可以得出一个n2的DP：设f[i]表示决策完第i件玩具的最小花费，s[i]=∑ik=1Ci，那么有：f[i]=min{f[j]+(s[i]−s[j]+i−j−1−l)2}
  将里面的式子展开可以得到：f[j]+(s[i]+i)2+(s[j]+j)2+(l+1)2−2∗(s[i]+i)∗(s[j]+j)−2∗(s[i]+i)∗(l+1)+2∗(s[j]+j]∗(l+1)
  其中，(s[i]+i)2，(l+1)2，−2∗(s[i]+i)∗(l+1)属于和j无关的量，直接拉出来，剩下的部分为：f[j]+(s[j]+j)2−2∗(s[j]+j)∗(s[i]+i−l−1)
  假设i可以从j以及k转移得来，并且从k转移更优，那么有：

f[j]+(s[j]+j)2−2∗(s[j]+j)∗(s[i]+i−l−1)<f[k]+(s[k]+k)2−2∗(s[k]+k)∗(s[i]+i−l−1)

f[j]+(s[j]+j)2−f[k]−(s[k]+k)22∗[(s[j]+j)−(s[k]+k)]<s[i]+i−l−1······①

  接下来就只需要根据式①进行斜率优化的过程就可以了

复杂度

O（nlogn）

代码

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#define Rint register int
#define Lint long long int
using namespace std;
const int N=50010;
Lint s[N],f[N];
int q[N],c[N],n,L,head,tail;;
Lint getup(int i,int j)
{
    return f[i]+(s[i]+i)*(s[i]+i)-f[j]-(s[j]+j)*(s[j]+j);
}
Lint getdown(int i,int j)
{
    return 2*(s[i]+i-s[j]-j);
}
bool judge(int i,int j,int C)
{
    Lint A=getup( i,j ),B=getdown( i,j );
    return A<=B*C;
}
bool Judge(int i,int j,int k)
{
    return getup( i,j )*getdown( j,k )<=getup( j,k )*getdown( i,j );
}
Lint cal(int i,int j)
{
    return f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-1-L)*(s[i]-s[j]+i-j-1-L);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        s[i]=s[i-1]+c[i];
    }
    head=tail=q[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while( head+1<=tail && judge( q[head+1],q[head],s[i]+i-L-1 ) )   ++head;
        f[i]=cal( i,q[head] );
        while( head+1<=tail && Judge( i,q[tail],q[tail-1] ) )   tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}