[51Nod1239]欧拉函数之和

题意

  给定n，求ϕ(n)=∑ni=1φ(i)

解法

  这道题就要用到一种神奇的黑科技：杜教筛了！
  首先来推公式：
  ∑d|nφ(d)=n···①
  由①可知：φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)···②
  将②带入到所求的式子中去，有：

ϕ(n)=∑i=1n[i−∑d|i,d<iφ(d)]=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d|i,d<iφ(d)

=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d=1⌊ni⌋φ(d)=n∗(n+1)2−∑i=2nϕ(⌊ni⌋)

  然后就只需要不停递归下去，就可以达到比较优的复杂度：T(n)=O(n‾√)+∑n√i=1T(i)+T(ni)，利用主定理便可得知复杂度为O(n34)
  如果能够预处理出一部分的ϕ(n)，那么复杂度可以进一步优化，当预处理出前n23项，复杂度最优
  PS：有人问：∑ni=2∑d|i,d<iφ(d)=∑ni=2∑⌊ni⌋d=1φ(d)是怎么得到的，其实很简单，左边是一个一个枚举φ(d)，而右边则是算出d可以成为多少个数的因子，那么d就可以产生那么多的贡献

复杂度

O(n23)

代码

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<map>
#define Rint register int
#define Lint long long int
using namespace std;
const int M=1e9+7;
const int N=10000010;
const int m2=500000004;
bool vis[N];
int pri[N/10],cnt;
Lint phi[N];
map<Lint,int> f;
void Prepare()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if( !vis[i] )   pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            int x=pri[j]*i;
            if( x>=N )   break ;
            vis[x]=1;
            if( i%pri[j] )   phi[x]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else
            {
                phi[x]=phi[i]*pri[j];
                break ;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)   phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%M;
}
int cal(Lint n)
{
    if( n<N )   return phi[n];
    if( f.count(n) )   return f[n];
    Lint x=2,ret=n%M*(n%M+1)%M*m2%M;
    while( x<=n )
    {
        Lint y=n/(n/x);
        ret=(ret-1ll*(y-x+1)%M*cal(n/x)%M+M)%M,x=y+1;
    }
    return f[n]=ret;
}
int main()
{
    Lint n;
    Prepare();
    scanf("%lld",&n);
    printf("%d\n",cal(n));
    return 0;
}