λ-calculus的归约

\(\newcommand{\l}{\lambda}\)在之前的讨论中，我们用等号\(=\)表示“可以演算得到”，并且规定等号具有自反、对称、传递的基本性质。这就意味着，我们不仅可以说\((\l x.xx)N\)能演算得到\(NN\)，根据对称性也可以说\(NN\)能演算得到\((\l x.xx)N\)。后者听上去很奇怪，因为与其说是“演算”，后者更像是一种“构造”。作为演算规则的\(\beta\)-conversion事实上不应该具有对称性，因为它总是倾向于将\(\l\)-term“化简”。因此我们意识到，何为“化简”还没有得到严格的定义。我们应当严格定义一个集合\(\Lambda\)上的二元关系，来描述“化简”。

归约(Reduction)

\(\newcommand{\ttob}{\twoheadrightarrow_\beta}\newcommand{\tob}{\rightarrow_\beta}\newcommand{\eqb}{=_\beta}\)如果我们把\(\alpha\)-equivalance看作语法上的设定(convention)，也即我们总是避免局部变量与全局变量的重名，那么\(\l\)-calculus中唯一的演算规则就是\(\l\)-term整体的\(\beta\)-conversion或某一局部的\(\beta\)-conversion。我们定义符号\(\tob\)表示“单步\(\beta\)-reduction”：

• 对任意的\(\l\)-term \(M,N\)和变量\(x\)，\((\l x.M)M\tob M[x:=N]\)；
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N,Z\)，如果\(M\tob N\)，那么\(ZM\tob ZN\)；
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N,Z\)，如果\(M\tob N\)，那么\(MZ\tob NZ\)；
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N\)和变量\(x\)，如果\(M\tob N\)，那么\(\l x.M\tob \l x.N\)；

基于单步\(\beta\)-reduction，可以定义多步\(\beta\)-reduction（或简称\(\beta\)-reduction），用符号\(\ttob\)表示（多步包括0步）：

• 对任意的\(\l\)-term \(M\)，\(M\ttob M\)；（0步）
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N\)，如果\(M\tob N\)，那么\(M\ttob N\)；（单步）
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N,L\)，如果\(M\ttob N,N\ttob L\)，那么\(M\ttob L\)；

多步\(\beta\)-reduction满足自反和传递，而不满足对称。这样的关系称为congruence关系。

下面定义符号\(\eqb\)，称为\(\beta\)-conversion：

• 对任意的\(\l\)-term \(M,N\)，如果\(M\ttob N\)，那么\(M\eqb N\)；
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N\)，如果\(M \eqb N\)，那么\(N\eqb M\)；（单步）
• 对任意的\(\l\)-term \(M,N,L\)，如果\(M\eqb N,N\eqb L\)，那么\(M\eqb L\)；

可以看到，\(\beta\)-conversion满足自反、对称、传递，是\(\Lambda\)上的等价关系。这其实就是原先“\(=\)”的含义，只不过原先我们把\(\alpha\)-equivalence也看作演算。

下面的图片清晰展示了\(\beta\)-reduction和\(\beta\)-conversion之间的区别：图中一个箭头表示单步\(\beta\)-reduction，同一直线上的箭头可以连成一个多步\(\beta\)-reduction。而在忽略掉箭头的有向性只关注两个点之间的连通，就表示\(\beta\)-conversion。

Church-Rosser定理

每一步\(\beta\)-reduction会消去一个形如\((\l x.M)N\)的subterm，所以随着\(\beta\)-reduction的进行一个term中的\(\l\)会越来越少直到无法再进行任何\(\beta\)-reduction。自然的问题是，在\(\l\)-calculus这个形式系统中，对于任何term，\(\beta\)-reduction是否会在有限步内结束，如果采取不同的顺序做\(\beta\)-reduction是否会导出唯一的“化简结果”？也就是我们要研究\(\beta\)-reduction的性质。

人们发现，\(\beta\)-reduction的性质很大程度上基于Church-Rosser定理。这个定理表述如下：对于\(\l\)-term \(M,N_1,N_2\)，如果有\(M\ttob N_1,M\ttob N_2\)，那么一定存在\(\l\)-term \(N_3\)满足\(N_1\ttob N_3,N_2\ttob N_3\)。Church-Rosser定理可以用下面的图片清晰地展示：

Church-Rosser定理的证明

为了方便讨论，我们把形如\((\l x M)N\)的\(\l\)-term称为一个\(\l\)-redex（“形如”的意思是如果\(\l\)-term \(Z\)满足：存在\(\l\)-term \(M,N\)使得\(Z\equiv (\l xM)N\)）。如果一个\(\l\)-term不存在任何\(\l\)-redex作为subterm就称它为一个\(\beta\)-normal form（简称\(\beta\)-nf）。

容易理解，一个\(\l\)-redex会被\(\beta\)-reduction“化简”，而\(\beta\)-normal form不能再继续化简。一个\(\beta\)-nf已经是“最简式”了：如果\(M\)是\(\beta\)-nf，那么对任意\(N\)，如果\(M\ttob N\)，则\(M\equiv N\)（归纳证明：如果\(M\equiv N\)显然；\(M\)走一个单步根据定义依然得到\(M\)，因此根据归纳假设走剩余的步依然得到\(M\)）。

（待续）

Church-Rosser定理的推论

根据Church-Rosser定理我们可以得到以下结论：如果\(M\eqb N\)，那么存在\(L\)满足\(M\ttob L,N\ttob L\)。

证明如下：依据\(\eqb\)的定义归纳。若\(M\eqb N\)是因为\(M\ttob N\)，那么取\(L\equiv N\)即可；若\(M\eqb N\)是因为\(N\eqb M\)，那么由归纳假设可证；若\(M\eqb N\)是因为存在\(N'\)使得\(M\eqb N',N'\eqb N\)，那么由归纳假设可以找到\(L_1\)满足\(M\ttob L_1,N'\ttob L_1\)，\(L_2\)满足\(N'\ttob L_2,N\ttob L_2\)。根据\(N'\ttob L_1,N'\ttob L_2\)，由Church Rosser定理可知存在\(L\)满足\(L_1\ttob L,L_2\ttob L\)。。因此\(M\ttob L,N\ttob L\)。证毕。该证明可以由下面的图片清晰展示：

下面我们证明，一个\(\l\)-term至多只能“化简”得到一个\(\beta\)-nf：如果\(M\eqb N_1,M\eqb N_2\)且\(N_1,N_2\)都是\(\beta\)-nf，那么\(N_1\equiv N_2\)。证明：由\(\beta\)-conversion的对称性与传递性可知\(N_1\eqb N_2\)，那么由上面的推论可知存在\(L\)使得\(N_1\ttob L,N_2\ttob L\)。而\(N_1,N_2\)是\(\beta\)-nf意味着它们已经是“最简式”，不能再由\(\beta\)-reduction箭头向下到达一个与其不相同的term，因此\(N_1\equiv L,N_2\equiv L\)，也即\(N_1\equiv N_2\)。证毕。

这样就回答了我们的问题，无论采取什么样的归约顺序我们都会得到一个唯一的最简式。如果两个\(\l\)-term之间能够做\(\beta\)-conversion（\(=_\beta\)），那么它们最终能\(\beta\)-reduce到同一个\(\beta\)-nf（根据上面的推论它们能归约到同一个term，这个term会被reduce到一个唯一的\(\beta\)-nf）。

从逻辑系统的角度看，这还能用来说明\(\l\)-calculus是一个一致(consistent)的系统：证明一致性，只需证明该系统存在一个无法证明的命题。由于存在不同的两个\(\beta\)-nf，比如真和假，\(\l xy.x\)和\(\l xy.y\)，一定有\(\l xy.x\not\eqb \l xy.y\)。否则它们能reduce到同一个\(\beta\)-nf，矛盾。

Normalization Theorem

然而，一个\(\l\)-term的\(\beta\)-reduction有可能是不终止的（无穷次reduce）。仿照不动点定理的构造，可以令\(\Omega=(\l x.xx)(\l x.xx)\)，我们有\(\Omega\tob \Omega\)，而\(\Omega\)按照定义并不是一个\(\beta\)-nf，因此\(\Omega\)无法reduce到某个\(\beta\)-nf。

另一方面，每一步选择哪一个subterm做\(\beta\)-reduction是一个关键的问题。存在这样的情况，如果按照某一策略归约会无穷进行下去，而按照另一策略却是有穷的。例如，考虑\(\textsf{KI}\Omega\equiv (\l xy.x)(\l x.x)((\l x.xx)(\l x.xx))\)。如果选择归约\(\textsf{K}\)，那么我们将一步得到\(\textsf{KI}\Omega\tob \textsf{I}\)；如果选择归约\(\Omega\)，那么\(\textsf{KI}\Omega\tob \textsf{KI}\Omega\)，归约会无穷进行下去。所以在寻找\(\beta\)-nf时选择一个恰当的顺序是重要的，这通常称为归约的strategy(策略)。

可以证明，对于\(\l\)-term \(M\)，如果存在\(\beta\)-nf \(N\)满足\(M\eqb N\)，那么只需在每一步都选择对最左侧的\(\beta\)-redex做归约就可以由\(M\)归约得到\(N\)。这称为Normalization Theorem（归一化定理）。（证明略）。我们因此把\(\l\)-term的最左归约称为normalizing。