「拉格朗日插值」学习笔记

给出$n$个点，求出这$n$个点对应的多项式中代入$k$的结果。

很显然这个多项式是唯一确定的，因为我们待定系数，然后得到一个$n$元一次方程。解完就得到了系数表达式。

但是我们不需要知道各项系数，只需要知道代入$k$的结果就好了。因此：$$\sum\limits_{0 \leq i < n}y_i \prod\limits_{j \neq i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$这个多项式的意义非常显然，当$x$取到给定某一个$x_m$时，除了第$m$项，其他的项中分子一定会有一个$x-x_m$，因此消去了（等于0），只剩下了$y_m\prod\limits_{j \neq m}\dfrac{x-x_j}{x_m-x_j}$。此时将$x_m$代入，分子分母相等，故为1。所以结果就是$y_m$。因此我们确保了将给定的$n$个点代入无误，所以多项式无误。