半标准杨表 q 计数

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半标准杨表 q 计数

半标准杨表，每行单调不降，每列单调递增。记行数为 \(r\)，每行长度分别为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)；值域为 \([0,m]\)，并 要求 \(m\geq r\) 。设占位符为 \(q\) 。

为了刻画每一行的数，并限制列是单调递增的，考虑 LGV 引理：对于第 \(i\) 行画 \((-i,0)\) 到 \((-i+\lambda_i,m)\) 的折线，横着走就记 \(q^y\)，竖着走就记 \(1\) 。于是，记 \(h_k=[x^k]\prod\limits_{0\leq i\leq m}\frac{1}{1-q^ix}\)，答案就是 \(\det(h_{i+\lambda_j-j})_{1\leq i,j\leq r}\) 。

为了方便，令 \(\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_{m+1}\) 均为 \(0\)，并将方阵的阶数扩充至 \(m+1\)，这样做显然不会改变答案。记 \(m+1\) 阶方阵 \(A=(h_{\lambda_i-i+j})_{1\leq i,j\leq m+1}\)（注意转置了一下）。为了处理 \(\det A\)，记 \(e_{k}^{(j)}=[x^k]\prod\limits_{0\leq i\leq m,i\not=k}(1-q^ix)\)，并考虑 \(B=(e_{m+1-i}^{(j-1)})_{1\leq i,j\leq m+1}\) 和 \(A\) 相乘的结果（这样构造是为了使 \(\det B\not=0\)）：

\[(AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m+1}h_{\lambda_i-i+k}e_{m+1-k}^{(j-1)}=(q^{j-1})^{\lambda_i-i+m+1} \]

而 \(\det B\)，考虑将 \(\lambda_{1},\cdots,\lambda_{m+1}\) 置为 \(0\)，此时 \(\det A=1\) ，因此 \(\det B=\det\left((q^{j-1})^{m+1-i}\right)_{1\leq i,j\leq m+1}\) 。于是：

\[\begin{aligned} \det A&=\det\left((q^{j-1})^{\lambda_i-i+m+1}\right)_{1\leq i,j\leq m+1}/\det\left((q^{j-1})^{m+1-i}\right)_{1\leq i,j\leq m+1}\\ &=\prod_{1\leq i<j\leq m+1}\frac{q^{\lambda_j-j+m+1}-q^{\lambda_i-i+m+1}}{q^{m+1-j}-q^{m+1-i}}\\ &=\left(\prod_{1\leq i\leq m+1}q^{\lambda_i(i-1)}\right)\left(\prod_{1\leq i<j\leq m+1}\frac{1-q^{(\lambda_i-i)-(\lambda_j-j)}}{1-q^{j-i}}\right) \end{aligned} \]

现在看看这个题：C 。\(\lambda_i\) 是右数第 \(i\) 个 \(1\) 左侧的 \(0\) 个数要求和不超过 \(n\)，值域无所谓。将第 \(i\) 行增加 \((i-1)\) 构成半标准杨表，于是答案为（取 \(m=n+r-1\)）：

\[[q^n]\prod_{1\leq i<j\leq m+1}\frac{1-q^{(\lambda_i-i)-(\lambda_j-j)}}{1-q^{j-i}} \]

即 \([q^n]\prod\limits_{i}(1-q^i)^{k_i}\) 。\(\ln\left(\prod\limits_{i}(1-q^i)^{k_i}\right)=-\sum\limits_{i}k_i\sum\limits_{j\geq 1}\frac{q^{ij}}{j}\)，再 exp 回去即可。提交记录：评测详情 - 清橙网络自动评测系统 (hhwdd.com) 。