【题解】Ynoi 2006 rmpq

Data 是没有交换律的，意味着所有的操作都要按时间来。

如果平面上横着竖着加起来有 \(n\) 条直线，那么最多将平面划分的区域数是 \(n^2\) 级别的。不妨考虑操作分块，每 \(B\) 个修改分一个块，在一个块内维护每个区域的标记。接下来讨论一些细节：

• 找到所属区域：找到其前面有多少竖线，上面有多少横线即可，这个可以用二分完成。
• 散块查询信息：暴力考虑所有的询问，操作次数是 \(O(\frac{n}{B})\) 的。
• 建立标记结构：这个我没有很好的想法，看起来要用分治结构解决。

仔细算一下操作次数，感觉会被卡。

建立标记结构可以很容易地用分治解决：合并两块的话，对于新块的每个区域，一定被旧的两块的某两个区域覆盖，直接相乘就行。

用分治结构这点启发我们用二进制分组解决问题。令 \(B=2^k\)（我选的 \(B=256\)），当某一组的大小到达 \(B\) 就不继续合并，容易发现这样子每个询问需要的费用大概是 \(\frac{m}{B}+\log_2 B\) 的（令 \(m\) 为修改次数）。

讨论二进制分组需要的费用，合并两个大小为 \(x\) 的组，需要的费用最多是 \((x+1)^2\) 的，可以看成第二个块中的每个 竖线 / 横线 去找到第一个块中的某条 竖线 / 横线 然后相互造成费用（最后除 \(2\)），因此每一个修改造成费用的次数差不多为 \(B\) 。

此时的操作次数经过粗略计算大概是 \(\frac{mB}{2}+\frac{(n-m)m}{B}+(n-m)\log_2B\)，取 \(B=256\) 可以低空飘过。

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