基础算法篇——前缀和与差分
基础算法篇——前缀和与差分
本次我们介绍基础算法中的前缀和与差分，我们会从下面几个角度来介绍前缀和与差分：
- 前缀和介绍
- 一维前缀和
- 二维前缀和
- 差分介绍
- 一维差分
- 二维差分
前缀和介绍
首先我们来简单介绍一下前缀和：
- 我们首先定义一个长度为n的数组，然后我们希望求这个数组的部分长度的总和
如果正常采用我们的for循环来遍历一遍的话：
- 复杂度为O（n）
这时如果我们提前将这些数据保存起来，在多次查询时就会方便很多：
- 我们将数组的第i个值定义为ai
- 我们将数组的前n个值的和定义为Sn
- 其实就是类似于我们数学上的基本算法
我们如果想要求解某一部分的值，只需要用S进行删减即可：
// sum[l,r] = S[r] - S[l-1]
这里我们做一个小小的细节处理：
// 由于我们需要S[r] - S[l-1]完成计算
// 那么当我们的l=0时，我们需要S[r]-S[-1],这明显是不可行的，但是如果我们将整体往前移动一位
// 我们直接让数组从1开始，让S数组也从1开始，并将S[0]=0，这样我们在计算[1,k]之间的数时就可以直接使用S[r]-S[l-1]了
一维前缀和
题型：
- 输入数组长度和一组数组，输入需要查询的前缀和次数，输入需要查询的区块下标，返回对应的sum值
代码展示：
import java.util.Scanner;
public class PrefixSum {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// 输入数组长度和查询次数
int n = scanner.nextInt();
int k = scanner.nextInt();
// 输入数组内容
int[] arr = new int[n+1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
arr[i] = scanner.nextInt();
}
// 首先获得Sn
int[] sn = new int[n+1];
sn[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sn[i] = sn[i-1] + arr[i];
}
// 开始循环
while (k-- > 0){
// 输入查询值
int l = scanner.nextInt();
int r = scanner.nextInt();
// 查询并输出结果
System.out.println( l + "到" + r +"的数值为：" + (sn[r]-sn[l-1]));
}
}
}
二维前缀和
题型：
- 输入一个n行m列的整数矩阵，再输入k个询问
- 每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
- 对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
代码展示：
import java.util.Scanner;
public class PrefixSum {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// 输入二维数组n，m
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
// 输入查询次数
int k = scanner.nextInt();
// 创建数组
int[][] arr = new int[n+1][m+1];
int[][] snn = new int[n+1][m+1];
// 首先给二维数组值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
arr[i][j] = scanner.nextInt();
}
}
// Sn基本值
snn[0][0] = 0;
snn[0][1] = 0;
snn[1][0] = 0;
// 给Sn赋值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
snn[i][j] = snn[i][j-1] + snn[i-1][j] - snn[i-1][j-1] + arr[i][j];
}
}
// 循环查询
while (k-- > 0){
// 输入遍历位置
int x1 = scanner.nextInt();
int y1 = scanner.nextInt();
int x2 = scanner.nextInt();
int y2 = scanner.nextInt();
// 获得值
int result = snn[x2][y2] - snn[x1][y2] - snn[x2][y1] + snn[x1][y1];
// 开始遍历并返回
System.out.println("从" + x1 + y1 + "到" + x2 + y2 + "的值为：" + result);
}
}
}
差分介绍
我们首先来简单介绍一下差分：
- 差分实际上就是前缀和的相反方法
- 我们首先给出一个数组A，然后构建数组B，使数组A的每个值都对应的数组B的每个值的前缀和
我们给出一个简单的实例：
// 例如我们的题目给出我们一个A数组 int[] A = [1,2,3,4]
// 这时我们需要构造一个B数组，使A是B的前缀和，那么B就应该是int[] B = [1,1,1,1]
// 实际上我们的B数组赋值十分简单：只需要用a[i]-a[i-1]即可
那么差分又具有什么作用：
// 差分可以用我们新建的数组B来统一管理我们的数组A的一部分内容
// 如果我们想在A的数组上某个区域内都加上c，如果我们直接添加，复杂度为O(n)
// 但是如果我们采用B数组添加，那么我们只需要在这个区域的开头+c，在这个区域的末尾-c即可，复杂度为O(1)
// 但同时利用这个思想，我们可以对B数组赋值，当我们的开头和结尾都为一个数时
// 就相当于对当前的数b[n]+a[i]，对下一个数b[n+1]-a[i]，但下一步时我们就会对b[n+1]+a[i+1]正好对应了a[i]-a[i-1]
一维差分
题型：
- 输入一个长度为n的整数序列，接下来输入k个操作。
- 每个操作包含三个整数 l,r,cl,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 cc。
- 请你输出进行完所有操作后的序列
代码展示：
import java.util.Scanner;
public class Diff {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// 给出n和k
int n = scanner.nextInt();
int k = scanner.nextInt();
// 搭建数组
int[] arr = new int[n+1];
int[] brr = new int[n+1];
// 为arr赋值
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
arr[i] = scanner.nextInt();
}
// 为brr赋值
for (int i = 1; i < n+1; i++){
brr[i] = arr[i] - arr[i-1];
}
while (k-- > 0){
// 我们为arr的[l,r]区间加上c
int l = scanner.nextInt();
int r = scanner.nextInt();
int c = scanner.nextInt();
brr[l] += c;
brr[r+1] -= c;
}
// 然后我们输出结果即可（注意这里输出的需要是由b累计出来的a）
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
brr[i] += brr[i-1];
}
// 最后输出结果
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
System.out.println(brr[i]);
}
}
}
代码修改：
// 但其实我们会发现上述中的b的累加方法实际上和对b的修改方法几乎是一致
// 同样都是b[i]=a[i]-a[i-1],所以我们可以将两个方法合并起来减少代码量
import java.util.Scanner;
public class Diff {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// 给出n和k
int n = scanner.nextInt();
int k = scanner.nextInt();
// 搭建数组
int[] arr = new int[n+1];
int[] brr = new int[n+1];
// 为arr赋值
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
arr[i] = scanner.nextInt();
}
// 为brr赋值
for (int i = 1; i < n+1; i++){
insert(i,i,arr[i]);
}
while (k-- > 0){
// 我们为arr的[l,r]区间加上c
int l = scanner.nextInt();
int r = scanner.nextInt();
int c = scanner.nextInt();
insert(l,r,c);
}
// 然后我们输出结果即可（注意这里输出的需要是由b累计出来的a）
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
brr[i] += brr[i-1];
}
// 最后输出结果
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
System.out.println(brr[i]);
}
}
// 合并为一个方法
public void inset(int l,int r,int c){
b[l]+=c;
b[r+1]+=c;
}
}
二维差分
题型：
- 先输入一个n行m列的数组，输入一个k作为增加区块次数
- 每次增加区块需要输入x1，y1，x2，y2，c作为区块左上角和区块右下角以及该区块增加的数
- 最后我们输出打印整个数组
代码展示：
import java.util.Scanner;
public class Diff {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// 获得m，n，k
int m = scanner.nextInt();
int n = scanner.nextInt();
int k = scanner.nextInt();
// 输入数组A
int[][] arr = new int[m+2][n+2];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
arr[i][j] = scanner.nextInt();
}
}
// 我们同样采用insert方法封装一个方法来是同步实现brr的数据赋值以及brr的部分区间赋值
int[][] brr = new int[m+2][n+2];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
insert(i,j,i,j,arr[i][j],brr);
}
}
// 进行差分
while (k-- > 0){
int x1 = scanner.nextInt();
int y1 = scanner.nextInt();
int x2 = scanner.nextInt();
int y2 = scanner.nextInt();
int c = scanner.nextInt();
insert(x1,y1,x2,y2,c,brr);
}
// 我们获得brr总和为arr的值
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
brr[i][j] += brr[i][j-1] + brr[i-1][j] - brr[i-1][j-1];
}
}
// 我们输出打印
for (int i = 1;i <= m;i++){
for (int j = 1; j <= n; j++) {
System.out.print(brr[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
public static void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c,int[][] brr){
brr[x1][y1] += c;
brr[x1][y2+1] -= c;
brr[x2+1][y1] -= c;
brr[x2+1][y2+1] += c;
}
}
结束语
好的，关于基础算法篇的前缀和与差分就介绍到这里，希望能为你带来帮助~
