负指数分布

定义：

在概率论和统计学中，负指数分布又称为指数分布（英语：Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔等等。

概率密度函数：

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential（λ）

累计分布函数：

性质：

1. 均值和方差
   随机变量X (X 的率参数是λ) 的期望值是：
   
   比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。
   X 的方差是：
   X的偏离系数V(x)=1;
2. 无记忆性
   无记忆性又称为遗失记忆性，这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：
3. 与泊松过程的关系
   泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于
   长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于
   。这是指数分布,这还表明了泊松过程的无记忆性。

应用

在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。
负指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准当中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，负指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。
负指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。负指数分布比幂分布趋近0的速度慢很多,所以有一条很长的尾巴。指数分布很多时候被认为是长尾分布。互联网网页链接的出度入度符合指数分布
负指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ，方差为(1/λ)的平方。
债券违约事件建模
CDS（信用违约互换）定价的一个重要步骤是对债务人的信用违约事件进行建模，从而可用风险中性定价理论来推导理论价格。对信用违约事件建模分为结构法与强度法，而强度法的最基本模型就是用泊松过程来模拟违约事件，并把第一次泊松“跳”的时间作为违约时间。这样，我们就可以利用参数为λ的指数分布来对违约时间建模。