函数调用
题目
https://www.luogu.com.cn/problem/P7077
这题给我好搞。不过思路精巧。
\(Solution\)
首先我们考虑一个比较简单的问题。
称函数1是加法，函数2是乘法，函数3是调用。
首先，要转换思路。原先暴力模拟，考虑函数顺序，\(O(Qn)\), 必炸。我们考虑统计每个函数对答案的贡献。这样是\(O(n)\)复杂度的。其次，我们在考虑贡献时，也不应该直接修改上去。如果对于一个函数2，这个做法瞬间就退化了。类比线段树的懒标记，我们想到，给他们打标记，最后一并计算就行了。记住一个性质：乘可以看成多次加。
我们从简单问题入手：
在不考虑函数3的情况下，对于函数2，我们自然可以维护总乘积；对于函数1，我们可以维护一个\(mul[i]\),代表当前函数被乘的次数，注意这里，这个函数被乘的次数等于后面函数的\(mul\)之积。如果前后存在多个\(f[i]\), 那么计算也是一样的。这样我们最后把每个\(a[p]\)加上\(mul[i] * v\)就可以了。
接下来考虑函数3。做法搬过来。我们变一下\(mul\)定义：调用此函数时，全局乘了多少次。也就是后面的mul不用乘了。
先把\(mul\)维护好（下面要用，否则\(sum\)维护不出）。具体来说，我们对于每一个调用函数，按照拓扑逆序递推：
我们发现，对于函数调用的函数（姑且称为子函数吧），他们的贡献没有被计算。我们这时候只维护\(mul\)是无法做的，因为子函数无法处理了，子函数会被父函数调用的次数影响。这启发我们维护\(sum[i]\)，代表\(f[i]\)被调用的次数。具体来说，我们对于每个父函数（其实就是特判,他们永远只被调用一次）
对于每个子函数：
其实就是 父函数调用多少次 乘上后面兄弟乘了多少次
到现在为止应该能理解为什么维护\(mul\)了吧。因为后面兄弟调用的次数包括父节点调用次数，不能计算啦~，乘起来答案就不对了。
不要忘记要把相同的函数加起来~
那么我们最后就可以统计答案了~
对于函数1，维护总乘数，直接乘。对于函数2，由于可能做子函数，于是我们拿\(sum\)直接\(w[p] += v * sum[i]\)。
这样就把答案统计出来了。
总结：按拓扑逆序，先求单点挂着的\(mul\), 反向枚举sum[i]， 算父函数后面乘积，在拓扑正序求出sum， 最后统计答案。
更新：
又想了想，之前没有说的多么清楚，其实可以这么想：类比不带函数3，我们同样考虑维护每个点对答案的贡献\(sum\)。可以分为两类。第一类是大函数，就是最开始调用的函数，第二类是子函数。
对于大函数，我们发现其实需要知道一个函数对前面函数的贡献，也就是让所有数乘了多少倍，这也就是\(mul\)，于是大函数类似不带函数3就解决了。
对于小函数，我们发现其实根据当前维护的\(sum\)是求不出\(sum[u]\)的，因为后面兄弟对这个点的贡献不知道是多少，所以我们就需要维护这个值，也就是\(mul\)，表示调用函数时给全部数乘了多少。我们发现这个非常好维护。拓扑逆序递推 儿子乘起来就行了。这样我们就能求解了。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 2000010, mod = 998244353;
typedef long long LL;
//sum分为大函数贡献和子函数 子函数贡献需要兄弟对孩子的贡献引出mul
struct Function
{
int t, p, v, sum, mul;
}f[N];
int n, m, Q;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int w[N];
int q[N], din[N];
int g[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
void topsort()
{
int hh = 1, tt = 0;
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
if (!din[i]) q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
if ( -- din[e[i]] == 0) q[ ++ tt] = e[i];
}
}
void get_mul() //调用函数i全局乘几次
{
for (int k = m; k; k -- )
{
int t = q[k];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
f[t].mul = (LL)f[t].mul * f[j].mul % mod;
}
}
}
void get_sum()
{
for (int t = 1; t <= m; t ++ )
{
int k = q[t];
int sum = f[k].sum;
for (int i = h[k]; ~i; i = ne[i]) //前向星天然头插 最右侧最先遍历
{
int j = e[i];
f[j].sum = ((LL)f[j].sum + sum) % mod; //相同函数不能相乘 是不同的方式增加的
sum = (LL)sum * f[j].mul % mod;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d", &m);
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
{
int opt, p = 0, v = 0;
scanf("%d", &opt);
if (opt == 1) scanf("%d%d", &p, &v);
else if (opt == 2) scanf("%d", &v);
else
{
int cnt = 0;
scanf("%d", &cnt);
while (cnt -- )
{
int x;
scanf("%d", &x);
add(i, x);
din[x] ++ ;
}
}
f[i] = {opt, p, v, 0, 0};
}
//mul初始化
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
if (f[i].t == 2) f[i].mul = f[i].v;
else f[i].mul = 1;
topsort();
//拓扑逆序求mul 可以不用知道操作序列
get_mul();
scanf("%d", &Q);
for (int i = 1; i <= Q; i ++ ) scanf("%d", &g[i]);
//求sum 大函数 递推起点
int sum = 1;
for (int i = Q; i; i -- )
{
f[g[i]].sum = (f[g[i]].sum + sum) % mod;
sum = (LL)sum * f[g[i]].mul % mod;
}
get_sum(); //正序求sum 子函数
//统计答案
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
w[i] = (LL)w[i] * sum % mod;
for (int i = 1; i <= m; i ++ )
if (f[i].t == 1) w[f[i].p] = (w[f[i].p] + (LL)f[i].v * f[i].sum) % mod;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
printf("%d ", w[i]);
return 0;
}
