香农采样定律

香农采样定理（Shannon Sampling Theorem），也称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），是信号处理领域的基础理论，定义了连续信号转换为离散信号时的最低采样频率要求，以确保信号能够被完整、无失真地重建。

定理内容

采样频率（fsfs​）必须至少是信号中最高频率（fmaxfmax​）的两倍，即：

fs≥2⋅fmaxfs​≥2⋅fmax​

这一最低采样频率 2⋅fmax2⋅fmax​ 被称为奈奎斯特频率（Nyquist Rate）。若低于此频率，会导致混叠（Aliasing）现象，即高频信号被错误地重建为低频信号。

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关键概念

1. 信号带宽
   信号中最高有效频率分量 fmaxfmax​ 决定了信号的带宽。例如，音频信号带宽通常为 20 Hz - 20 kHz，最高频率 fmax=20 kHzfmax​=20 kHz。

2. 采样频率选择

   • 例如，CD 音频的采样频率为 44.1 kHz（略高于 2 × 20 kHz），以满足人耳听觉需求。

   • 实际应用中，常选择 fs=2.2⋅fmaxfs​=2.2⋅fmax​ 以留出安全余量。

3. 混叠（Aliasing）
   当 fs<2fmaxfs​<2fmax​ 时，高频成分在采样后会被“折叠”到低频区域，导致信号失真。例如，车轮在视频中看似反向旋转即为混叠现象。

4. 抗混叠滤波器
   采样前需使用低通滤波器滤除高于 fs/2fs​/2 的频率成分，避免混叠。

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数学解释

• 连续信号 x(t)x(t) 的傅里叶变换为 X(f)X(f)，其频谱在 ∣f∣≤fmax∣f∣≤fmax​ 外为零。

• 以 fs≥2fmaxfs​≥2fmax​ 采样后，离散信号频谱为原始频谱的周期性延拓，且无重叠。

• 通过理想低通滤波器（如 sinc 函数插值）可完美重建原始信号。

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应用领域

1. 数字通信：调制解调、信道编码。

2. 音频处理：CD、数字录音。

3. 图像处理：数码相机采样、图像压缩。

4. 医学成像：MRI、CT 扫描信号重建。

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注意事项

• 实际信号的非理想性：真实信号可能包含高频噪声，需通过抗混叠滤波器预处理。

• 非带限信号：若信号频率范围无限（如方波），需先滤波限制带宽。

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香农采样定理是数字信号处理的基石，确保模拟世界到数字世界的高保真转换。理解并正确应用该定理，对避免信息丢失和信号失真至关重要。

 

 

 

香农采样C语言实现

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 信号参数
#define SIGNAL_FREQ 50 // 信号频率 (Hz)
#define AMPLITUDE 1.0 // 信号幅值
#define SAMPLE_RATE 1000 // 采样频率 (Hz)，需满足香农定理：SAMPLE_RATE > 2*SIGNAL_FREQ

// 生成连续信号（示例为正弦波）
double generate_signal(double t) {
return AMPLITUDE * sin(2 * M_PI * SIGNAL_FREQ * t);
}

int main() {
double duration = 0.02; // 采样时长 (秒)
int num_samples = (int)(duration * SAMPLE_RATE); // 总采样点数
double sampling_interval = 1.0 / SAMPLE_RATE; // 采样间隔

printf("开始采样...\n");
printf("采样频率: %d Hz, 信号频率: %d Hz\n", SAMPLE_RATE, SIGNAL_FREQ);
printf("总采样点数: %d\n\n", num_samples);

// 执行采样并输出结果
for (int i = 0; i < num_samples; i++)

{
double t = i * sampling_interval; // 当前采样时间
double sample = generate_signal(t); // 获取采样值

// 输出采样结果（可替换为存储到数组或文件）
printf("t=%.4f s, 采样值=%.4f\n", t, sample);
}

return 0;
}

 

代码说明：

1. 参数定义：

   • SIGNAL_FREQ：被采样信号的频率（50Hz）

   • SAMPLE_RATE：采样频率（1000Hz），满足香农定理（>2×50Hz）

   • AMPLITUDE：信号幅值

2. 信号生成：

   • generate_signal() 函数生成一个正弦波信号，可根据需求修改为其他信号

3. 采样过程：

   • 计算总采样点数 num_samples

   • 通过循环在等间隔时间点采集信号值

   • 输出采样时间和对应的信号值

运行结果示例：

 

 

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开始采样...
采样频率: 1000 Hz, 信号频率: 50 Hz
总采样点数: 20

t=0.0000 s, 采样值=0.0000
t=0.0010 s, 采样值=0.3090
t=0.0020 s, 采样值=0.5878
...
t=0.0190 s, 采样值=-0.5878

关键点：

1. 采样率选择：确保 SAMPLE_RATE > 2×SIGNAL_FREQ，本例中1000Hz远高于最低要求100Hz

2. 信号扩展：可修改 generate_signal() 函数生成方波、三角波等信号

3. 实际应用：

   • 将输出保存到文件（如CSV）用于后续分析

   • 添加抗混叠滤波器（模拟前端低通滤波）

   • 通过FFT实现频谱分析验证采样效果

验证香农定理：

尝试修改 SAMPLE_RATE 为低于100Hz（如80Hz），观察采样后的信号会出现频率混叠现象。

这个示例展示了香农采样定理的核心实现，实际工程中还需考虑量化、抗混叠滤波、重构等更多环节。