【自学嵌入式：计算机组成原理】6. 二进制的运算

6. 二进制的运算

一、二进制数的位权计算与转换

二进制基于位值计数法，每个位置的数值由“符号本身”和“所在位的权值”共同决定。以下通过示例系统讲解计算逻辑。

1. 位权与8421编码

二进制位的权值遵循 ( 2^n ) 规律（( n ) 为从右往左的位置索引，从0开始计数）。对于4位二进制数，常用8421编码快速对应权值：

二进制位位置（从左到右）	权值（( 2^n )）	十进制对应值
最高位（第3位）	( 2^3 = 8 )	8
左二位（第2位）	( 2^2 = 4 )	4
左三位（第1位）	( 2^1 = 2 )	2
最低位（第0位）	( 2^0 = 1 )	1

2. 示例：二进制 1011 转十进制

对于二进制数 1011，按位提取符号与对应权值，通过位权展开法计算十进制值：

[
\begin{align}
\text{十进制值} &= (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0) \
&= (1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (1 \times 1) \
&= 8 + 0 + 2 + 1 \
&= 11
\end{align}
]

3. 思考题：二进制 10110111 转十进制

步骤如下：

1. 确定位权：8位二进制数的权值为 ( 2^7 ) 到 ( 2^0 )（对应十进制 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1）；
2. 提取符号：二进制数 10110111 的各位符号为 1 0 1 1 0 1 1 1；
3. 位权展开计算：

[
\begin{align}
\text{十进制值} &= (1 \times 128) + (0 \times 64) + (1 \times 32) + (1 \times 16) + (0 \times 8) + (1 \times 4) + (1 \times 2) + (1 \times 1) \
&= 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 \
&= 183
\end{align}
]

二、二进制的加法运算

二进制加法遵循“逢二进一”规则（与十进制“逢十进一”逻辑一致，仅进位条件不同）。以下通过示例详细说明运算流程。

1. 核心规则

• 本位相加：按位计算两个二进制数的对应位之和，结果可能为 ( 0, 1, 10_2 )（对应十进制 ( 0, 1, 2 )）；
• 进位处理：若本位和为 ( 10_2 )（十进制2），则向高位进1，本位保留 ( 0 )。

2. 示例：二进制加法 ( 10110111_2 + 00010011_2 )

对应十进制验证：( 10110111_2 = 183_{10} )，( 00010011_2 = 19_{10} )，和为 ( 202_{10} )。

运算过程（从右往左逐位计算）

二进制位（权值）	第7位（128）	第6位（64）	第5位（32）	第4位（16）	第3位（8）	第2位（4）	第1位（2）	第0位（1）
加数1（10110111）	1	0	1	1	0	1	1	1
加数2（00010011）	0	0	0	1	0	0	1	1
本位和（无进位）	( 1+0=1 )	( 0+0=0 )	( 1+0=1 )	( 1+1=10 )	( 0+0=0 )	( 1+0=1 )	( 1+1=10 )	( 1+1=10 )
进位处理	无进位	无进位	无进位	向第5位进1	无进位	无进位	向第2位进1	向第1位进1

进位修正后的结果

• 第4位（16）：和为 ( 10_2 )，向第5位进1，本位保留 ( 0 )；
• 第1位（2）：和为 ( 10_2 )，向第2位进1，本位保留 ( 0 )；
• 第0位（1）：和为 ( 10_2 )，向第1位进1，本位保留 ( 0 )；
• 第5位（32）：因第4位进位，原和 ( 1 ) 变为 ( 1+1=10_2 )，向第6位进1，本位保留 ( 0 )；
• 第2位（4）：因第1位进位，原和 ( 1 ) 变为 ( 1+1=10_2 )，向第3位进1，本位保留 ( 0 )；
• 第6位（64）：因第5位进位，原和 ( 0 ) 变为 ( 0+1=1 )；
• 第3位（8）：因第2位进位，原和 ( 0 ) 变为 ( 0+1=1 )。

最终二进制和为 ( 11001010_2 )，转换为十进制验证：

[
\begin{align}
1 \times 128 + 1 \times 64 + 0 \times 32 + 0 \times 16 + 1 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 0 \times 1 &= 128 + 64 + 8 + 2 \
&= 202
\end{align}
]

总结：

• 二进制转换十进制的核心是位权展开法，需明确每位的 ( 2^n ) 权值；
• 二进制加法的关键是“逢二进一”规则，逐位计算并处理进位。
  二者是理解计算机底层数据运算的基础，需熟练掌握。