【深度学习数学基础：概率论与数理统计】1.1.4 随机变量

1. 随机事件与概率

1.1 随机事件及其运算

1.1.4 随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母 \(X, Y, Z\) 表示。很多事件都可用随机变量表示，表示时应写明随机变量的含义。而随机变量的含义是人们按需要设置出来的。下面通过一些例子来说明是如何进行设置的。

例 1.1.4

很多随机现象的结果本身就是数，把这些数看作某特设变量的取值就可获得随机变量。如掷一颗骰子，可能出现 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) 诸点。若设置 \(X=\)“掷一颗骰子出现的点数”，则 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) 就是随机变量 \(X\) 的可能取值，这时：

• 事件“出现 3 点”可用“\(X=3\)”表示。
• 事件“出现点数超过 3 点”可用“\(X>3\)”表示。
• “\(X \leq 6\)”是必然事件 \(\Omega\)。
• “\(X=7\)”是不可能事件 \(\varnothing\)。

在这个随机现象中，若再设 \(Y=\)“掷一颗骰子 6 点出现的次数”，则 \(Y\) 是仅取 0 或 1 两个值的随机变量，这是与 \(X\) 不同的另一个随机变量。这时：

• “\(Y=0\)”表示事件“没有出现 6 点”。
• “\(Y=1\)”表示事件“出现 6 点”。
• “\(Y \leq 1\)”是必然事件 \(\Omega\)。
• “\(Y \geq 2\)”是不可能事件 \(\varnothing\)。

上述讨论表明：在同一个随机现象中，不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行。

例 1.1.5

有些随机现象的结果虽然不是数，但仍可根据需要设计出有意义的随机变量。如检验一件产品的可能结果有两个：合格品与不合格品。若我们把注意点放在不合格品上，则设置 \(X=\)“检查一件产品所得的不合格品数”，\(X\) 是仅取 0 与 1 的随机变量，且“\(X=0\)”表示事件“出现合格品”；“\(X=1\)”表示事件“出现不合格品”。

若检查 10 件产品，其中不合格品数 \(Y\) 是一个随机变量，它仅可能取 \(0, 1, 2, \cdots, 10\) 等 11 个值，且：

• 事件“不合格品数不多于 1 件”可用“\(Y \leq 1\)”表示。
• “\(Y=0\)”表示事件“全是合格品”。
• “\(Y=10\)”表示事件“全是不合格品”。
• “\(Y<0\)”是不可能事件 \(\varnothing\)。
• “\(Y \leq 10\)”是必然事件 \(\Omega\)。

由此可见，随机变量是人们根据研究和需要设置出来的，若把它用等号或不等号与某些实数联结起来就可以表示很多事件。这种表示方法形式简洁、含义明确、使用方便。今后遇到的大量事件都将用随机变量表示，这里关键在于随机变量的设置要事先说明。