【深度学习数学基础：线性代数】5. 矩阵分解：5.5谱分解

5. 矩阵分解

5.5谱分解

谱分解（实对称矩阵的特征分解特殊情况）

定义：特征分解的特殊形式

特征分解的特殊情况：谱分解（Spectral Decomposition）
对于实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\)，可被唯一（特征值顺序除外）分解为：

\[\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^\mathrm{T} \]

其中：

• \(\boldsymbol{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)\) 是由 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值构成的对角矩阵（diag 表示对角元素为特征值的矩阵 ）；
• \(\boldsymbol{Q}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征向量构成的正交矩阵（列向量正交且单位化，满足 \(\boldsymbol{Q}^\mathrm{T} = \boldsymbol{Q}^{-1}\) ）。

实对称阵的特殊性质（保证谱分解存在）

实对称矩阵天生满足以下性质，因此一定可谱分解：

1. 特征值为实数：不存在复数特征值，特征向量可在实数空间内构造；
2. 特征向量正交：不同特征值的特征向量天然正交，相同特征值的特征向量可通过正交化使其正交；
3. 几何重数 = 代数重数：任意特征值的几何重数（对应特征向量空间的维数）等于代数重数（特征方程中根的重数），保证特征向量数量足够且能构成满秩正交矩阵 \(\boldsymbol{Q}\)。

谱分解的唯一性说明

谱分解不唯一（特征值顺序固定时唯一，否则不唯一）：
若某特征值 \(\lambda_i\) 是 \(m\) 重（代数重数为 \(m\)），则其对应 \(m\) 个正交特征向量。通过调换这 \(m\) 个特征向量在 \(\boldsymbol{Q}\) 中的列位置，可得到不同的正交矩阵 \(\boldsymbol{Q}\)，但对角阵 \(\boldsymbol{\Lambda}\) 的特征值集合本质不变（仅顺序可能改变）。