【深度学习数学基础：线性代数】4. 线性空间及线性映射：4.7 在PCA（主成分分析）上的应用

4. 线性空间及线性映射

4.7 在PCA（主成分分析）上的应用

PCA（主成分分析）简介

PCA（Principal Component Analysis）是机器学习中常用的一种降维算法，它可以在尽可能保留数据信息的前提下，将高维数据转换到低维空间中表示。这种技术特别适用于处理维度很高的数据集，帮助简化计算并减少噪声影响。

基本概念

• 数据集：在机器学习里，数据集就是由大量数据样本组合而成的集合。打个比方，我们要研究学生的学习情况，一个数据集可能就包含了1000名学生的信息，像身高、体重、各科成绩等。
• 数据维度：数据维度指的是每个数据点所具有的特征数量。例如，一个描述学生的数据集，若包含了身高、体重、年龄这3个特征，那么这个数据集的维度就是3。
• 样本：样本是从总体中抽取出来的一部分用于观察和分析的数据。比如，我们从全校学生中随机选取100名学生，这100名学生的相关数据就是一个样本。
• 方差：方差是用来衡量一组数据离散程度的统计量。它反映了数据点相对于平均值的分散情况。方差越大，说明数据越分散；方差越小，数据越集中。
• 有偏估计：有偏估计是指估计量的数学期望不等于被估计参数的真实值。在计算样本方差时，如果我们使用样本数量n作为分母，得到的就是有偏估计。
• 协方差：协方差用于衡量两个变量的总体误差。如果两个变量的变化趋势一致，那么它们的协方差就是正值；如果变化趋势相反，协方差就是负值。
• 数学期望：在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。对于离散型随机变量，数学期望可以用公式表示为：\(E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)\)，其中\(x_i\)是随机变量X的可能取值，\(P(X=x_i)\)是取值\(x_i\)的概率。

PCA数学原理

在PCA算法中，特征值和特征向量有着非常重要的作用。下面我们就来详细了解PCA的数学原理。

假设我们有一个数据集\(\{\boldsymbol{x}_{n}\}\)，这里面每个数据点的维度都是D。我们用\(\boldsymbol{S}\)来表示样本方差（要注意，这里使用的是有偏估计），其计算公式如下：

\[\boldsymbol{S}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left(\boldsymbol{x}_{n}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)\left(\boldsymbol{x}_{n}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)^{T} \]

其中：

• \(\boldsymbol{x}_{n}\)表示第n个数据点，它是一个向量。
• \(\overline{\boldsymbol{x}}\)表示所有数据点的均值向量。
• \(N\)表示数据集中样本的总数。

接下来，我们要求\(\mathbf{S}\)的特征值和特征向量，它们满足下面的方程：

\[\mathbf{S} \boldsymbol{u}_{i}=\lambda_{i} \boldsymbol{u}_{i} \]

这里：

• \(\lambda_{i}\)是\(\mathbf{S}\)的第i个特征值。
• \(\boldsymbol{u}_{i}\)是对应的特征向量，并且这些特征向量是单位向量，也就是它们的模长为1。

PCA降维过程

PCA降维的核心思想是：我们可以利用前M个最大特征值所对应的特征向量，来对数据进行近似表示，这样就能实现从D维到M维的降维。具体的近似表示公式如下：

\[\tilde{\boldsymbol{x}_{n}}=\sum_{i=1}^{M} z_{n i} \boldsymbol{u}_{i}+\sum_{i=M+1}^{D} b_{i} \boldsymbol{u}_{i} \]

在这个公式中：

• \(\tilde{\boldsymbol{x}_{n}}\)是对原始数据点\(\boldsymbol{x}_{n}\)的近似表示。
• 前M个坐标\(z_{n i}\)是数据点在对应的特征向量\(\boldsymbol{u}_{i}\)上的投影系数，这些系数是每个数据点特有的。
• 后D-M个坐标\(b_{i}\)是整个数据集共用的常数项。

通过这种方式，PCA实现了数据的有损压缩。虽然我们舍弃了一部分信息，但保留了数据中最重要的模式和结构。

PCA算法的应用

PCA算法在很多领域都有广泛的应用，比如：

• 数据可视化：当数据维度很高时，我们很难直接对其进行可视化。通过PCA将数据降到2维或3维，就可以在平面或空间中直观地展示数据点的分布情况。
• 特征提取：在图像处理中，PCA可以提取图像的主要特征，用于图像识别和分类。
• 降噪：由于PCA保留了数据的主要成分，去除了噪声和次要信息，因此可以用于数据降噪。
• 加速机器学习算法：在处理高维数据时，很多机器学习算法的计算复杂度会很高。通过PCA降维，可以大大提高算法的运行效率。

总结

PCA是一种强大的数据降维技术，它通过特征值分解的方法，找到数据中方差最大的方向（即主成分），从而实现数据的压缩和简化。对于新手来说，理解PCA的关键在于掌握特征值、特征向量、样本方差等基本概念，以及它们在降维过程中的作用。通过PCA，我们可以更方便地处理高维数据，发现数据中的潜在模式。比如有一个100000维度的表格数据，可以在保留矩阵信息的同时，压缩到20-30维