【深度学习数学基础：线性代数】4. 线性空间及线性映射：4.6 广义特征值特征向量

4. 线性空间及线性映射

4.6 广义特征值特征向量

我们将 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}\) 中的 \((\lambda, \boldsymbol{x})\) 称为 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值特征向量。若有两个线性系统 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\)，存在 \((\lambda, \boldsymbol{x})\) 使得

\[\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} \quad (\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}) \]

则称 \((\lambda, \boldsymbol{x})\) 是矩阵对 \((\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})\) 的广义特征值和广义特征向量 ，它们合在一起称为广义特征对。

很显然可以变形为 \((\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{B}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)，所以 \(\operatorname{det}(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{B}) = 0\) 称为广义特征多项式。当 \(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{I}\) 时，就退化成一般情况下的特征多项式。