【深度学习数学基础：线性代数】4. 线性空间及线性映射：4.4 重要性质

4. 线性空间及线性映射

4.4 重要性质

\(n\)阶方阵\(\boldsymbol{A}\)其特征根、特征向量数量关系为：

• 若把\(m\)重特征值算\(m\)个，那它一定有\(n\)个特征值
• \(n\)阶方阵不一定有\(n\)个特征向量，特征向量数量视具体情况而定
• \(m\)重根\(\lambda_{i}\)对应的特征向量个数为\(n - \operatorname{rank}(\boldsymbol{A} - \lambda_{i}\boldsymbol{I})\)，最少1个最多\(m\)个

特征值还有如下重要性质：

• \(\lambda_{1} + \lambda_{2} + \cdots + \lambda_{n} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})\)
• \(|\boldsymbol{A}| = \lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}\)
• 若\(\lambda\)是\(\boldsymbol{A}\)的特征值，则\(\lambda^{k}\)是\(\boldsymbol{A}^{k}\)的特征值
• 若\(\lambda\)是\(\boldsymbol{A}\)的特征值，则\(\frac{1}{\lambda}\)是\(\boldsymbol{A}^{-1}\)的特征值
• 转置不改变矩阵的特征值（即\(\boldsymbol{A}\)与\(\boldsymbol{A}^{T}\)有相同特征值）

特征向量的部分重要性质：

• 若\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}\)是方阵\(\boldsymbol{A}\)的\(m\)个特征值，\(\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{p}_{2}, \cdots, \boldsymbol{p}_{m}\)依次是与之对应的特征向量，若\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}\)各不相等，则\(\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{p}_{2}, \cdots, \boldsymbol{p}_{m}\)线性无关。
• 若\(\lambda_{1}\)和\(\lambda_{2}\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)的两个不同的特征值，它们对应的特征向量为\(\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{p}_{2}\)，注意\(\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}\)不是\(\boldsymbol{A}\)的特征向量，除非\(\lambda_1=\lambda_2\).
• 若\(\lambda, \boldsymbol{u}\)为\(\boldsymbol{A}\)的特征值和特征向量，则\(\lambda+c\)为\(\boldsymbol{A}+c\boldsymbol{I}\)的特征值，\(\boldsymbol{u}\)为\(\boldsymbol{A}+c\boldsymbol{I}\)的特征向量。

推导过程：

\[\begin{array}{c} (\boldsymbol{A}+c\boldsymbol{I})\boldsymbol{u}=\mu\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{u}+c\boldsymbol{u}=\mu\boldsymbol{u} \\ \lambda\boldsymbol{u}+c\boldsymbol{u}=\mu\boldsymbol{u} \\ \mu=\lambda+c \end{array} \]

【注】若\(\lambda_{\boldsymbol{A}}\)为\(\boldsymbol{A}\)的特征值，\(\lambda_{\boldsymbol{B}}\)为\(\boldsymbol{B}\)的特征值，\(\lambda_{\boldsymbol{A}}+\lambda_{\boldsymbol{B}}\)不一定是\(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\)的特征值。