【深度学习数学基础：线性代数】4. 线性空间及线性映射：4.3 重根与重数

4. 特征值特征向量

4.3 重根与重数

【补】行列式计算方法

1. 余子式

在\(n\)阶行列式中，去掉元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行、第\(j\)列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的\(n-1\)阶行列式称为元素\(a_{ij}\)的余子式，记作\(M_{ij}\)，即

\[M_{ij} = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \]

2. 代数余子式

余子式\(M_{ij}\)乘\((-1)^{i+j}\)后称为\(a_{ij}\)的代数余子式，记作\(A_{ij}\)，即

\[A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \]

显然也有\(M_{ij} = (-1)^{i+j}A_{ij}\)。

3. 行列式按某一行（列）展开的展开公式

目的：降阶，即\(n\)阶降成\(n\)个\(n-1\)阶
展开原则：某一行（列）为0的元素越多越好

行列式等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即

\[|\boldsymbol{A}| = \begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} & (i=1,2,\cdots,n) \\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij} & (j=1,2,\cdots,n) \end{cases} \]

但行列式的某行（列）元素分别乘另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为零，即

\[\begin{cases} a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + \cdots + a_{in}A_{kn} = 0, & i \neq k \\ a_{1j}A_{1k} + a_{2j}A_{2k} + \cdots + a_{nj}A_{nk} = 0, & j \neq k \end{cases} \]

例

\[D_4 = \left| \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right| = (\quad) \]

（A）17
（B）15
（C）13
（D）11

解：应选（B）。按第一列展开

\[\begin{aligned} D_4 & = \left| \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right| \\ & = 2\left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right| - 1 \times (-1)^{4+1}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{array} \right| \\ & = 16 - 1 = 15 \end{aligned} \]

故选（B）。

【补】解线性方程组的方法

一、线性方程组与向量组其实是一回事

我们来看一般的非齐次线性方程组：

\[\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right. \]

该方程组的系数矩阵：

\[\boldsymbol{A} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \]

就是若干个列向量拼成的，且其增广矩阵：

\[\left[ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right] \]

就是系数矩阵再添加一个列向量拼成的。

仔细观察，把上述方程组写成向量的形式便不难看出，该方程组的未知数就是向量组中各成员的系数：

\[x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{\beta} \]

其中：

\[\boldsymbol{\alpha}_j = \left[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right], \quad j = 1, 2, \cdots, n, \quad \boldsymbol{\beta} = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right] \]

所以从本质上说，方程组问题就是向量组问题，方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式，其本质一样，所以解决方法也一样。

求解线性方程组，就是对增广矩阵作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，然后求解。这个基本方法贯穿这门课程始终。

接下来，该方程组有无穷多解时，如何表示出所有的解？这又是某个（无穷）向量组用什么"代表"来表示的问题。这个"代表"就是基础解系。于是，解线性方程组便成了这一部分的关键。

解方程组所得到的解\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)就是描述向量与向量之间关系的表示系数。

二、齐次线性方程组

1. 方程组的三种形式

(1) 代数形式（\(m\) 个方程，\(n\) 个未知量）：

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} \tag{I} \]

(2) 向量形式：
列向量的线性组合为零向量：

\[x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{0} \]

其中列向量：

\[\boldsymbol{\alpha}_j = \begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}, \quad j=1,2,\cdots,n \]

(3) 矩阵形式：
系数矩阵与未知向量的乘积为零向量：

\[\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \]

其中：

\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \]

2. 有解的条件

• 当 \(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{A}) = n\)（即 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\) 线性无关）时，方程组 (I) 有 唯一零解；
• 当 \(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{A}) = r < n\)（即 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\) 线性相关）时，方程组 (I) 有 非零解（无穷多解），且含 \(n\!-\!r\) 个线性无关解。

3. 解的性质

若 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_1 = \boldsymbol{0}\) 且 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{0}\)，则对任意常数 \(k_1, k_2\)，有：

\[\boldsymbol{A}(k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2) = \boldsymbol{0} \]

4. 基础解系与解的结构

(1) 基础解系的定义

设 \(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\) 满足（\(r(\boldsymbol{A}) < n\)）：
① 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的解；
② 线性无关；
③ \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的任一解均可由 \(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\) 线性表示，
则称 \(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\) 为 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的 基础解系。

(2) 通解的形式

设 \(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\) 是基础解系，则方程组的 通解 为：

\[k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r} \]

（\(k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}\) 为任意常数。）

上述集合称为 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的 解空间（所有解构成的线性空间）。

5. 求解方法与步骤

1. 化行阶梯形矩阵：
   对系数矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 作初等行变换，化为 行阶梯形 \(\boldsymbol{B}\)（或行最简形）。
   初等行变换保持解不变，故 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 与 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 同解。设 \(r(\boldsymbol{A}) = r\)，\(\boldsymbol{B}\) 形式为：

   \[\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1r} & \cdots & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2r} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{rr} & \cdots & c_{rn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n} \]

2. 选取自由变量：
   从 \(\boldsymbol{B}\) 中选一个秩为 \(r\) 的列子矩阵，剩余列对应的未知量为 自由变量（共 \(n\!-\!r\) 个）。

3. 求基础解系与通解：
   令自由变量取单位向量组，回代求基础解系 \(\boldsymbol{\xi}_1, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\)，再写出通解。

例 齐次线性方程组的通解求解

方程组：

\[\begin{cases} x_1 + x_2 - 3x_4 - x_5 = 0, \\ x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 = 0, \\ 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 + 3x_4 - 4x_5 = 0, \\ 2x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 4x_4 - 7x_5 = 0 \end{cases} \]

步骤1：初等行变换化阶梯形

系数矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的变换过程：

\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end{bmatrix} \]

1. 第一步：消元第一列
   第一行 \(\times (-1)\) 加至第二行，\(\times (-4)\) 加至第三行，\(\times (-2)\) 加至第四行：

   \[\xrightarrow[ \begin{subarray}{c} (-1)\text{倍加至第二行} \\ (-4)\text{倍加至第三行} \\ (-2)\text{倍加至第四行} \end{subarray} ]{} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end{bmatrix} \]

2. 第二步：消元第二列
   第二行 \(\times (-3)\) 加至第三行，\(\times 1\) 加至第四行：

   \[\xrightarrow[ \begin{subarray}{c} (-3)\text{倍加至第三行} \\ (1)\text{倍加至第四行} \end{subarray} ]{} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end{bmatrix} \]

3. 第三步：消元第四列
   第三行 \(\times (-\frac{4}{3})\) 加至第四行：

   \[\xrightarrow{(-\frac{4}{3})\text{倍加至第四行}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

4. 第四步：简化第三行
   第三行 \(\times \frac{1}{3}\)：

   \[\xrightarrow{\times \frac{1}{3}\text{（第三行）}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \boldsymbol{B} \]

此时 \(r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) = 3\)，\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 与 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 同解。

步骤2：选取自由变量

选第一、二、四列（秩为3），剩余第三、五列对应 自由变量：\(x_3, x_5\)。

步骤3：求通解

设 \(x_3 = k_1\)，\(x_5 = 3k_2\)（令 \(x_5 = 3k_2\) 简化 \(x_4 = \frac{x_5}{3} = k_2\)），回代 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)：

• 第二行：\(-2x_2 + 2x_3 + 2x_4 + x_5 = 0 \implies x_2 = x_3 + x_4 + \frac{x_5}{2} = k_1 + k_2 + \frac{5}{2}k_2\)；
• 第一行：\(x_1 + x_2 - 3x_4 - x_5 = 0 \implies x_1 = -x_2 + 3x_4 + x_5 = -k_1 + \frac{7}{2}k_2\)。

整理解向量：

\[\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = k_1\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + k_2\begin{bmatrix} \dfrac{7}{2} \\ \dfrac{5}{2} \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \]

（\(k_1, k_2\) 为任意常数。）

【注】

1. 自由变量的选取：\(x_2, x_3\) 或 \(x_2, x_5\) 或 \(x_3, x_4\) 也可作为自由变量（因阶梯形中列地位等同）。

2. 行最简形回代（补充方法）：
   对 \(\boldsymbol{B}\) 继续变换为 行最简形 \(\boldsymbol{C}\)：

   \[\boldsymbol{B} \xrightarrow[ \begin{subarray}{c} \times (-\frac{1}{2})\text{（第二行）} \\ \times \frac{1}{3}\text{（第三行）} \end{subarray} ]{} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
   \[\xrightarrow[ \begin{subarray}{c} 2\text{倍加至第二行} \\ 3\text{倍加至第一行} \end{subarray} ]{} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -\frac{5}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
   \[\xrightarrow{(-1)\text{倍加至第一行}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{6} \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -\frac{5}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \boldsymbol{C} \]

   设 \(x_3 = k_1\)，\(x_5 = 3k_2\)，则 \(x_4 = k_2\)，\(x_2 = k_1 + \frac{5}{2}k_2\)，\(x_1 = -k_1 + \frac{7}{2}k_2\)，通解与之前一致。

三、非齐次线性方程组

1. 方程组的三种形式

(1) 代数形式（\(m\) 个方程，\(n\) 个未知量）：

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \tag{II} \]

(2) 向量形式：

列向量的线性组合：

\[x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{b} \]

其中列向量：

\[\boldsymbol{\alpha}_j = \begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}, \quad j=1,2,\cdots,n, \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \]

(3) 矩阵形式与增广矩阵：

系数矩阵与未知向量的乘积：

\[\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \]

其中：

\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \]

增广矩阵（记为 \([\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}]\)）：

\[\left[ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right] \]

2. 有解的条件

• 若 \(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{A}) \neq \boldsymbol{r}([\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}])\)（即 \(\boldsymbol{b}\) 不能由 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\) 线性表示），则方程组 无解；
• 若 \(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{r}([\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}]) = n\)（即 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\) 线性无关，且 \(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n, \boldsymbol{b}\) 线性相关），则方程组 有唯一解；
• 若 \(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{r}([\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}]) = r < n\)，则方程组 有无穷多解。

3. 解的性质

设 \(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}\) 是非齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的解，\(\boldsymbol{\xi}\) 是对应齐次方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的解，则：

1. \(\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的解；
2. \(k\boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的解（\(k\) 为任意常数）。

4. 求解方法与步骤

1. 求导出组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的通解：\(k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}\)；
2. 求 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的一个特解 \(\boldsymbol{\eta}\)（\(\boldsymbol{\Rightarrow}\) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解）；
3. 非齐次通解为：

\[k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r} + \boldsymbol{\eta} \]

（\(k_1, \dots, k_{n-r}\) 为任意常数。）

例

设

\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

已知 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 存在两个不同的解（\(\boldsymbol{\Rightarrow}\) 即有无穷多解）。

(1) 求 \(\lambda, a\) 的值

非齐次方程组有两个不同解 \(\implies\) 有无穷多解 \(\implies\) 系数行列式 \(|\boldsymbol{A}| = 0\)：

\[|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2(\lambda+1) = 0 \]

解得 \(\lambda = -1\) 或 \(\lambda = 1\)。

• 当 \(\lambda = 1\) 时，增广矩阵变换：

\[[\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[\text{互换行}]{} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{bmatrix} \]

此时 \(\boldsymbol{r}(\boldsymbol{A}) = 1\)，\(\boldsymbol{r}([\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}]) = 2\)，无解，故 \(\lambda = 1\) 舍去。

• 当 \(\lambda = -1\) 时，增广矩阵变换：

\[[\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}] = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 & a \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow[\text{互换行}+\text{倍加行}]{} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & a+2 \end{bmatrix} \]

有解 \(\implies a+2 = 0 \implies a = -2\)。

综上：\(\boldsymbol{\lambda = -1}\)，\(\boldsymbol{a = -2}\)。

(2) 求方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的通解

对 \(\lambda = -1, a = -2\) 的增广矩阵继续变换：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{行简化}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

• 导出组通解（\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)）：
  自由变量 \(x_3 = k\)，得基础解系 \(\boldsymbol{\xi} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)。

• 非齐次特解（\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)）：
  令 \(x_3 = 0\)，得 \(\boldsymbol{\eta} = \begin{bmatrix} \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}\)。

故通解为：

\[\boldsymbol{x} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + k\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

（\(k\) 为任意常数。）

重根与重数

特征值的重数称为代数重数，特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。

\[1 \leq \text{几何重数} \leq \text{代数重数} \]

\[|A-\lambda I| = \left| \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -1-\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \right| \]

\[=\left| \begin{pmatrix} -1-\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \right| = (2-\lambda) \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} -1-\lambda & 1 \\ -4 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda) \cdot \left[ (-1-\lambda)(3-\lambda) - 1 \cdot (-4) \right] = (2-\lambda) \cdot (\lambda^2 - 2\lambda + 1) = (2-\lambda)(1-\lambda)^2 \]

因而有

\[(2-\lambda)(1-\lambda)^{2}=0 \rightarrow \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=\lambda_{3}=1 \]

对于 \(\lambda_{1}=2\)，解方程 \((A-2I)\boldsymbol{x}=\mathbf{0}\) 得 \(\boldsymbol{p}_{1}=(0,0,1)^{T}\)，所以 \(\lambda_{1}\) 对应的特征向量为 \(k\boldsymbol{p}_{1}\)。

对于 \(\lambda_{2}=\lambda_{3}=1\)，解方程 \((A-I)\boldsymbol{x}=\mathbf{0}\) 得 \(\boldsymbol{p}_{2}=(-1,-2,1)^{T}\)，所以 \(\lambda_{2}=\lambda_{3}\) 对应的特征向量为 \(k\boldsymbol{p}_{2}\)。此时代数重数为 2，几何重数为 1。（因为\(\{k\boldsymbol{p}_2\}\)所张成的向量空间是1维的（因为这个特征重根对应的特征向量只有1个））

解方程过程如下：

(1) 对 \(\lambda_1 = 2\)

构造矩阵 \(A - 2I\)：

\[A - 2I = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

解方程组 \((A - 2I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)：

• 第三行：\(x_1 = 0\)；
• 代入前两行：\(x_2 = 0\)；
• \(x_3\) 为自由变量（设为 \(k\)），得解：

\[\boldsymbol{x} = k \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \text{特征向量：} \ k\boldsymbol{p}_1 \ (\boldsymbol{p}_1 = (0,0,1)^T, \ k \neq 0) \]

(2) 对 \(\lambda_2 = \lambda_3 = 1\)

构造矩阵 \(A - I\)：

\[A - I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

解方程组 \((A - I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)：

• 前两行线性相关，有效方程：\(\begin{cases} x_2 = 2x_1 \\ x_3 = -x_1 \end{cases}\)；
• 设 \(x_1 = k\)（自由变量），得解：

\[\boldsymbol{x} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \implies \text{取 } k=-1, \text{ 特征向量：} \ k\boldsymbol{p}_2 \ (\boldsymbol{p}_2 = (-1,-2,1)^T, \ k \neq 0) \]