【深度学习数学基础：线性代数】3. 线性空间及线性映射：3.8 维数

3. 线性空间及线性映射

3.8 维数

可以很轻松地证明有限维向量空间的任意两个基的长度都相同。基于此，称有限维向量空间的任意基长度为这个向量空间的维数，\(\boldsymbol{V}\) 的维数记为 \(\dim \boldsymbol{V}\)，例如 \(\dim \boldsymbol{V} = m\)。

设 \(\boldsymbol{V} = \left\{ \left(x_1, x_2, 0\right) \right\}\)，虽然任意 \(\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}\) 可写成 \(\boldsymbol{v} = \left(x_1, x_2, 0\right)\) 有三个坐标，但实际上 \(\boldsymbol{V}\) 的维数为 2，理解这一点很重要：
在向量空间 \(\boldsymbol{V} = \left\{ (x_1, x_2, 0) \right\}\) 中，维数为 2 的核心原因是：向量空间的维数由其基中线性无关向量的数量决定，而非坐标分量的数量。具体分析如下：

• 1. 寻找 \(\boldsymbol{V}\) 的基

  • 取向量组 \(\{\boldsymbol{e}_1 = (1, 0, 0), \boldsymbol{e}_2 = (0, 1, 0)\}\)：

    • 张成性：任意 \(\boldsymbol{v} = (x_1, x_2, 0) \in \boldsymbol{V}\) 都可表示为
      \[\boldsymbol{v} = x_1 \boldsymbol{e}_1 + x_2 \boldsymbol{e}_2 \]
      即这组向量能通过线性组合生成整个 \(\boldsymbol{V}\)。
    • 线性无关性：若存在实数 \(a_1, a_2\) 使得
      \[a_1 \boldsymbol{e}_1 + a_2 \boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{0} \quad (\text{即 } (a_1, a_2, 0) = (0, 0, 0)) \]
      则必有 \(a_1 = a_2 = 0\)，满足线性无关的定义。

  • 因此，\(\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的一个基，基中包含 2 个向量，故 \(\dim \boldsymbol{V} = 2\)。

• 2. 为什么坐标数 3 不影响维数？

  • \(\boldsymbol{V}\) 是三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 的子空间，但其中所有向量的第三个坐标恒为 0。这相当于：

    • 第三个坐标没有“自由度”（不能取任意实数，只能固定为 0），真正独立的变量只有 \(x_1\) 和 \(x_2\)。
    • 从几何上看，\(\boldsymbol{V}\) 对应三维空间中的 \(xOy\) 平面，而平面是二维的，其基只需 2 个向量即可张成。

  • 关键结论：维数刻画的是“独立自由度的数量”，与坐标分量的书写形式无关。即使向量用三维坐标表示，若其中某个分量恒为 0（或受其他约束），则实际独立维度会降低。

• 3. 对比三维空间的标准基
  • 三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 的标准基是 \(\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}\)（\(\boldsymbol{e}_3 = (0, 0, 1)\)），维数为 3。
  • 而 \(\boldsymbol{V}\) 不包含形如 \((0, 0, 1)\) 的向量，故 \(\boldsymbol{e}_3\) 不属于 \(\boldsymbol{V}\)，其基中自然不包含 \(\boldsymbol{e}_3\)，维数也随之降为 2。

总结：向量空间的维数由基的大小决定，而基由“能张成空间且线性无关”的向量组构成，与坐标分量的数量无直接关系。