【深度学习数学基础：线性代数】3. 线性空间及线性映射：3.7 线性无关

3. 线性空间及线性映射

3.7 线性无关

线性无关是线性代数中最重要的概念之一，关于线性代数的研究很大程度上都是在研究无关性。若 \(\boldsymbol{V}\) 中有一组向量 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\)，使得

\[a_{1}\boldsymbol{v}_{1} + \cdots + a_{m}\boldsymbol{v}_{m} = \boldsymbol{0} \]

时只能有 \(a_{1} = \cdots = a_{m} = 0\)，则称 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\) 是线性无关的。

例：\(\left\{\boldsymbol{e}_{1} = (1, 0, 0), \boldsymbol{e}_{2} = (0, 1, 0), \boldsymbol{e}_{3} = (0, 0, 1)\right\}\) 是一组线性无关的向量。

【注】在深度学习中，一组线性无关的向量是指这组向量中的每一个向量都有自己独特的信息量，互不影响。

有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于或等于张成向量组的长度；有限维向量空间的子空间都是有限维的。

若 \(\boldsymbol{V}\) 中的一个向量组既是线性无关的又张成 \(\boldsymbol{V}\)（去掉线性相关的向量的部分，剩下的保留下来就是基了），则称之为 \(\boldsymbol{V}\) 的基；每个张成组都可以通过删掉一些向量化简成一个基；每个有限维向量空间都有基；一般我们认为空集是线性无关的，它可以张成 \(\{\boldsymbol{0}\}\) 空间。