【深度学习数学基础：线性代数】3. 线性空间及线性映射：3.6 张成

3. 线性空间及线性映射

3.6 张成

设有一组向量 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\)，它们的线性组合表示为

\[a_{1}\boldsymbol{v}_{1} + a_{2}\boldsymbol{v}_{2} + \cdots + a_{m}\boldsymbol{v}_{m} \]

其中 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\) 为任意实数。由 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\) 的所有线性组合构成的集合称为 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\) 的张成（span），记为 \(\text{span}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\)，即

\[\operatorname{span}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right) = \left\{a_{1}\boldsymbol{v}_{1} + \cdots + a_{m}\boldsymbol{v}_{m} : a_{1}, \cdots, a_{m} \in \mathbb{R}\right\} \]

\(\operatorname{span}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\) 是包含 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{m}\right)\) 的最小线性子空间。如果 \(\boldsymbol{V}\) 能由一组有限数量的向量张成，则称 \(\boldsymbol{V}\) 是有限维的。