【深度学习数学基础：线性代数】3. 线性空间及线性映射：3.5 商空间

3. 线性空间及线性映射

3.5 商空间

若 \(\boldsymbol{V}\) 是向量空间且 \(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间，商空间指 \(\boldsymbol{V}\) 中所有平行于 \(\boldsymbol{U}\) 的仿射子集的集合，即

\[\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U} = \{\boldsymbol{v} + \boldsymbol{U} : \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}\} \]

\(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)通常读作“\(\boldsymbol{V}\)模\(\boldsymbol{U}的商\)”（取模）或“\(\boldsymbol{V}\)除以\(\boldsymbol{U}\)的商”，对于数的取模可以理解为取余数，对于空间而言取模操作表示划分等价类，例如\(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)是将\(\boldsymbol{V}\)划分成了\(\boldsymbol{U}\)的等价类的全体

若 \(\boldsymbol{V}\) 是向量空间（比如二维平面 \(\mathbb{R}^2\)），\(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间（如图中过原点的斜线 \(\boldsymbol{U} = \left\{ (x, 2x) \mid x \in \mathbb{R} \right\}\)），商空间 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\) 可以直观理解为：
把 \(\boldsymbol{V}\) 中所有和 \(\boldsymbol{U}\) 平行的“直线”（仿射子集 \(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{U}\)）打包在一起，形成的集合，数学表达式为：

\[\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U} = \left\{ \boldsymbol{v} + \boldsymbol{U} \mid \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V} \right\} \]

商空间：给向量“分组打包”
- 定义“等价关系”：怎么分组？
假设 \(\boldsymbol{V}\) 是向量空间（比如二维平面 \(\mathbb{R}^2\)），\(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间（如图中过原点的斜线 \(\boldsymbol{U} = \left\{ (x, 2x) \mid x \in \mathbb{R} \right\}\)）。
我们规定：若两个向量 \(\boldsymbol{v}\) 和 \(\boldsymbol{w}\) 的差 \(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\) 落在 \(\boldsymbol{U}\) 里（即 \(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w} \in \boldsymbol{U}\)），就说它们“等价”，记为 \(\boldsymbol{v} \sim \boldsymbol{w}\)。

• 什么是“等价类”？
  所有和 \(\boldsymbol{v}\) 等价的向量，会组成一个“组”，叫做 \(\boldsymbol{v}\) 的 等价类，记作 \([\boldsymbol{v}]\)。
  用公式推导：

  \[[\boldsymbol{v}] = \left\{ \boldsymbol{w} \in \boldsymbol{V} \mid \boldsymbol{w} \sim \boldsymbol{v} \right\} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{U} \]

  （因为 \(\boldsymbol{w} \sim \boldsymbol{v} \iff \boldsymbol{w} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{u}\)，其中 \(\boldsymbol{u} \in \boldsymbol{U}\)——这正是之前学的 仿射子集！所以等价类就是“平行于 \(\boldsymbol{U}\) 的直线”。）

• ③ 商空间：所有“组”的集合
  把 \(\boldsymbol{V}\) 中所有等价类（平行于 \(\boldsymbol{U}\) 的直线）收集起来，形成的新集合就是 商空间，记作 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)：

  \[\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U} = \left\{ [\boldsymbol{v}] \mid \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V} \right\} = \left\{ \boldsymbol{v} + \boldsymbol{U} \mid \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V} \right\} \]

• 2. 几何例子：用“斜线分组”直观理解
     以图中 \(\boldsymbol{U} = \left\{ (x, 2x) \mid x \in \mathbb{R} \right\}\)（过原点的斜线 \(y=2x\)）为例：

  • 等价类长啥样？
    取 \(\boldsymbol{v} = (1, 1)\)，按规则，和 \(\boldsymbol{v}\) 等价的向量 \(\boldsymbol{w}\) 满足 \(\boldsymbol{w} - (1,1) \in \boldsymbol{U}\)，即 \(\boldsymbol{w} = (1+x,\ 1+2x)\)（\(x\) 取任意实数）。
    几何上，这是 过点 \((1,1)\)、且和 \(\boldsymbol{U}\) 平行的斜线（斜率为 \(2\)，只是从原点平移到了 \((1,1)\)）。这就是 \(\boldsymbol{v}\) 对应的等价类 \([\boldsymbol{v}]\)。

  • 商空间是啥？
    商空间 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\) 就是 所有这样的平行斜线的集合（如图中浅绿色区域里的无数条平行斜线，每条斜线都是一个等价类）。

• 类比“数的取模”：理解“商”的本质

  • 数的取模（如 \(7 \bmod 3\)）：把整数按“除以3的余数”分组（余0、余1、余2，共3组）。
  • 空间的“商”：把向量按“差在 \(\boldsymbol{U}\) 里”分组，每组是一条平行于 \(\boldsymbol{U}\) 的直线（无限多组，因为平面里有无数条平行斜线）。
    两者核心都是 “按规则分组，再把‘组’当作新元素”，只是数的分组少，空间的分组多。

• 核心总结

  • 商空间的“元素”不是单个向量，而是 一整条平行于 \(\boldsymbol{U}\) 的直线（等价类）；
  • 这些直线彼此平行，铺满整个 \(\boldsymbol{V}\)，像把平面切成无数“平行切片”，每一片都是商空间的成员；
  • 等价类就是之前学的 仿射子集 \(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{U}\)，商空间就是所有仿射子集的集合。

商空间 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\) 仍然是向量空间，因为它满足向量空间的核心性质：

• 加法单位元（零元）
  \(\boldsymbol{V}\) 和 \(\boldsymbol{U}\) 作为向量空间，均有零元 \(\boldsymbol{0}_{\boldsymbol{V}}\)（\(\boldsymbol{V}\) 的零元）和 \(\boldsymbol{0}_{\boldsymbol{U}}\)（\(\boldsymbol{U}\) 的零元）。由于 \(\boldsymbol{U} \subseteq \boldsymbol{V}\)，故 \(\boldsymbol{0}_{\boldsymbol{U}} = \boldsymbol{0}_{\boldsymbol{V}}\)。此时：

  \[\boldsymbol{0}_{\boldsymbol{V}} + \boldsymbol{U} = \boldsymbol{U} \]

  而 \(\boldsymbol{U}\) 就是 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\) 中的 零元（加法单位元）。

• 加法封闭性
  若 \(\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{U}\) 和 \(\boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{U}\) 都属于 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)，则它们的和为：

  \[(\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{U}) + (\boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{U}) = (\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2) + (\boldsymbol{U} + \boldsymbol{U}) = (\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2) + \boldsymbol{U} \]

  由于 \(\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2 \in \boldsymbol{V}\)（\(\boldsymbol{V}\) 对加法封闭），故 \((\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2) + \boldsymbol{U} \in \boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)，满足加法封闭性。

• 数乘封闭性
  若 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{U}\) 属于 \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)，对任意标量 \(\lambda\)，数乘结果为：

  \[\lambda (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{U}) = \lambda \boldsymbol{v} + \lambda \boldsymbol{U} \]

  由于 \(\boldsymbol{U}\) 是子空间（数乘封闭，即 \(\lambda \boldsymbol{U} = \boldsymbol{U}\)），故上式可简化为 \(\lambda \boldsymbol{v} + \boldsymbol{U}\)。又 \(\lambda \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}\)（\(\boldsymbol{V}\) 对数乘封闭），故 \(\lambda \boldsymbol{v} + \boldsymbol{U} \in \boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\)，满足数乘封闭性。

• 维度公式（有限维情形）
  设 \(\boldsymbol{V}\) 是有限维向量空间，\(\boldsymbol{U}\) 是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间，其中 \(\dim\) 表示空间的维度，则：

  \[\dim \boldsymbol{V}/\boldsymbol{U} = \dim \boldsymbol{V} - \dim \boldsymbol{U} \]

• 例子：二维平面的商空间
  若 \(\boldsymbol{V}\) 是二维平面（\(\dim \boldsymbol{V} = 2\)），\(\boldsymbol{U}\) 是过原点、斜率为2的直线（\(\dim \boldsymbol{U} = 1\)），则：

  • \(\boldsymbol{V}/\boldsymbol{U}\) 是“所有平行于 \(\boldsymbol{U}\) 的直线”（仿射子集）。
  • 由维度公式，\(\dim \boldsymbol{V}/\boldsymbol{U} = 2 - 1 = 1\)，即这些平行直线可通过“一个方向”区分（如沿垂直于 \(\boldsymbol{U}\) 的方向平移），故构成一维空间。