【深度学习数学基础：线性代数】3. 线性空间及线性映射：3.3 直和构造子空间

3. 线性空间及线性映射

3.3 直和构造子空间

假设 \(\boldsymbol{U}_1, \boldsymbol{U}_2\) 都是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间，一般情况下 \(\boldsymbol{U}_1 \cup \boldsymbol{U}_2\) 都不是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间。

例：设 \(\boldsymbol{U}_1 = \left\{ (x_1, 0) \right\}, \boldsymbol{U}_2 = \left\{ (0, x_2) \right\}\)，\((1, 0)\) 和 \((0, 1)\) 分别属于 \(\boldsymbol{U}_1\) 和 \(\boldsymbol{U}_2\)。但 \((1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \notin \boldsymbol{U}_1 \cup \boldsymbol{U}_2\)，说明 \(\boldsymbol{U}_1 \cup \boldsymbol{U}_2\) 不具备封闭性。

假设 \(\boldsymbol{U}_1, \boldsymbol{U}_2, \cdots, \boldsymbol{U}_m\) 都是 \(\boldsymbol{V}\) 的子空间，并且满足 \(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 + \boldsymbol{U}_2 + \cdots + \boldsymbol{U}_m\)，则 \(\boldsymbol{V}\) 中每个元素都可表示为 \(\boldsymbol{u}_1 + \boldsymbol{u}_2 + \cdots + \boldsymbol{u}_m\)，其中 \(\boldsymbol{u}_j \in \boldsymbol{U}_j\)。这种特殊情形，称 \(\boldsymbol{V}\) 是子空间 \(\boldsymbol{U}_1, \boldsymbol{U}_2, \cdots, \boldsymbol{U}_m\) 的直和，记作 \(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 \oplus \boldsymbol{U}_2 \oplus \cdots \oplus \boldsymbol{U}_m\)。

由直和得到的 \(\boldsymbol{V}\) 是包含 \(\boldsymbol{U}_1, \boldsymbol{U}_2, \cdots, \boldsymbol{U}_m\) 的最小子空间。直和类似于集合中“并集”的拓展操作，能通过多个子空间构造更大的空间。例如：若 \(\boldsymbol{U}_1 = \left\{ (x_1, 0) \right\}, \boldsymbol{U}_2 = \left\{ (0, x_2) \right\}\)，则 \(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 \oplus \boldsymbol{U}_2 = \left\{ (x_1, x_2) \right\}\)。

下面是关于直和的例子：

• 例1：二维平面中的坐标轴直和

  • 子空间定义：
    • \(\boldsymbol{U}_1\) 是二维平面中所有形如 \((x, 0)\) 的向量（即 x 轴），
    • \(\boldsymbol{U}_2\) 是所有形如 \((0, y)\) 的向量（即 y 轴）。
  • 直和结果：\(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 \oplus \boldsymbol{U}_2 = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}\}\)，即整个二维平面。
  • 通俗理解：任意二维向量 \((x, y)\) 都能唯一拆成 x 轴向量 \((x, 0)\) 和 y 轴向量 \((0, y)\) 之和，且 \(\boldsymbol{U}_1\) 和 \(\boldsymbol{U}_2\) 除了 \(\boldsymbol{0}\) 外没有其他公共向量。

• 例2：三维空间中的坐标轴直和

  • 子空间定义：
    • \(\boldsymbol{U}_1 = \{(x, 0, 0)\}\)（x 轴），\(\boldsymbol{U}_2 = \{(0, y, 0)\}\)（y 轴），\(\boldsymbol{U}_3 = \{(0, 0, z)\}\)（z 轴）。
  • 直和结果：\(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 \oplus \boldsymbol{U}_2 \oplus \boldsymbol{U}_3 = \{(x, y, z)\}\)，即三维空间。
  • 通俗理解：任何三维向量都能唯一表示为三个坐标轴向量的和（如 \((1, 2, 3) = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) + (0, 0, 3)\)），且三个轴之间除了 \(\boldsymbol{0}\) 外没有重叠。

• 例3：多项式空间的奇偶次直和

  • 子空间定义：
    • \(\boldsymbol{U}_1\) 是所有偶次多项式（如 \(1, x^2, x^4\) 的线性组合），
    • \(\boldsymbol{U}_2\) 是所有奇次多项式（如 \(x, x^3, x^5\) 的线性组合）。
  • 直和结果：\(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 \oplus \boldsymbol{U}_2\) 是全体多项式空间（如 \(3x^2 + 5x + 1 = (3x^2 + 1) + 5x\)）。
  • 通俗理解：任何多项式都能唯一拆成偶次项和奇次项之和，且偶次多项式和奇次多项式除了零多项式外没有公共元素。

• 例4：二维平面中两条斜线的直和

  • 子空间定义：
    • \(\boldsymbol{U}_1\) 是直线 \(y = x\) 上的向量（如 \((a, a)\)），
    • \(\boldsymbol{U}_2\) 是直线 \(y = 2x\) 上的向量（如 \((b, 2b)\)）。
  • 直和结果：\(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U}_1 \oplus \boldsymbol{U}_2 = \mathbb{R}^2\)（整个二维平面）。
  • 通俗理解：两条不共线的直线就像“斜着的坐标轴”，任意二维向量都能通过这两条直线上的向量唯一组合得到（类似平行四边形法则），且它们的交点只有原点 \(\boldsymbol{0}\)。