算法基础课DP总结

首先借助大佬的图引入y总的闫氏DP：

 

 

 

 总结的很全面，也很详细.

那么基础课的DP目录：

1、背包问题：

（1）01背包

（2）完全背包

（3）多重背包问题

（4）分组背包问题

2、线性DP

（1）数字三角形

（2）最长上升子序列

（3）字符串问题

3、区间DP   282. 石子合并 - AcWing题库

4、计数类DP  900. 整数划分 - AcWing题库

5、数位统计DP 338. 计数问题 - AcWing题库

6、状态压缩DP  291. 蒙德里安的梦想 - AcWing题库  91. 最短Hamilton路径 - AcWing题库

7、树形DP 285. 没有上司的舞会 - AcWing题库

8、记忆化搜索 901. 滑雪 - AcWing题库

 

背包类模板：

01背包：（ 时间复杂度O(n^m) ）

for(int i = 0; i < n ; i++)
{
     for(int j=m;j>=v[i];j--)
     {
          f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
     }
}

 

完全背包：

朴素版： （ 时间复杂度O(n^m^m) ）

for(int i = 0 ; i<=m ;j++)
{
       for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
      {
            for(int k = 0; k * v [ i ] <= j; k++)
            f[i][j]= max(f[i][j],f[i-1][ j  - k * v [i] ]+ k * w [i] );
      }
}

 

优化版本：（ 时间复杂度O(n^m) ）

for(int i=1;i<=n;i++)
{
     for(int j = v [i]; j <= m; j++)
     f[j]= max( f[j], f[ j - v[i] ]+ w[i]);
}

 

 

多重背包问题I：（ 时间复杂度O(n^m^m) ）

for(int i = 1; i<=n; i++)
{
     int v,w,s;
     cin>>v>>w>>s;//v是重量，w是价值，s是限制数量
     for(int j = m; j>=0 ; j--)
            for(int k=1 ; k<=s && k*v<=j ; k++)
            f[j] = max( f[j] , f[ j-k*v ] + k*w );
}

 

多重背包问题II：（ 时间复杂度O(n^m) ）

vector<goods> S;
for(int i=0;i<n;i++)
{
      int v,w,s;
      cin>>v>>w>>s;
      for(int j=1;j<=s;j*=2)
      {
          s-=j;
          S.push_back({j*v,j*w});
      }
      if(s>0)S.push_back({s*v,s*w});
}
for(auto g:S)
{
     for(int j=m;j>=g.v;j--)
     {
          f[j]=max(f[j],f[j-g.v]+g.w);
     }
}

 

分组背包问题：（ 时间复杂度O(n^m) ）

 

for(int i=0;i<n;i++)
{
     int l;
     cin>>l;
     for(int j=0;j<l;j++)cin>>v[j]>>w[j];
     for(int j=m;j>=0;j--)
         for(int k=0;k<l;k++)
            if(v[k]<=j)
               f[j]=max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
}

 

 

 

数字三角形：（ 时间复杂度O(n^2) ）

 

for(int i=1;i<=n;i++)  f[n][i]=w[n][i];//初始化
for(int i=n-1;i;i--)
       for(int j=1;j<=i;j++)
          f[i][j]=max(f[i+1][j]+w[i][j],f[i+1][j+1]+w[i][j]);

 

 

最长上升子序列：（ 时间复杂度O(n^2) ）

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
    }

 

最长上升子序列：（二分法）（ 时间复杂度O(n*lnn) ）

for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int l=0,r=len;
        while(l<r)
        {
            int mid=l+r+1>>1;
            if(q[mid]<a[i])l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        len=max(len,r+1);
        q[r+1]=a[i];
    }

 

最长公共子序列：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
        if(A[i]==B[j])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
    }
}

 

字符串编辑问题：

 

for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=i;
    for(int i=0;i<=m;i++)f[0][i]=i;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]);
            else f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        }
    }

 

 

 

END！！！